數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計(jì)三篇
篇一：數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材內(nèi)容解析
由于正整數(shù)無法窮盡的特點(diǎn)，有些關(guān)于正整數(shù)n的命題,難以對n進(jìn)行一一的驗(yàn)證，從而需要尋求一種新的推理方法，以便能通過有限的推理來證明無限的結(jié)論.這是數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源.
數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的重要方法。它的獨(dú)到之處便是運(yùn)用有限個(gè)步驟就能證明無限多個(gè)對象，而實(shí)現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想。
設(shè)p(n)表示與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明主要有兩個(gè)步驟：（1）證明p(1)為真；（2）證明若p(k)為真，則p(k+1)為真；有了這兩步的保證,就可實(shí)現(xiàn)以下的無窮動態(tài)的遞推過程：
P(1)真?? P(2)真?? P(3)真??… ?? P(k)真?? P(k+1)真?? …
因此得到對于任何正整數(shù)n，命題p(n)都為真.
數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據(jù)，即驗(yàn)證由任意一個(gè)整數(shù)n過渡到下一個(gè)整數(shù)n+1時(shí)命題是否成立.這兩個(gè)步驟都非常重要，缺一不可.第一步確定了n=1時(shí)命題成立，n=1成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)，沒有它遞推成了無源之水；第二步確認(rèn)了一種遞推關(guān)系，借助它，命題成立的范圍就能從1開始，向后面一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的無限傳遞到1以后的每一個(gè)正整數(shù)，從而完成證明.因些遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無限飛躍的關(guān)鍵，沒有它我們就只能停留在對有限情況的把握上.
在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，第一步中的起點(diǎn)1可以恰當(dāng)偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可證明命題對n=n0以后的每個(gè)正整數(shù)都成立;而第二步的遞推方式也可作靈活的變動，如跳躍式前進(jìn)等，但必須保證第一步中必須含有實(shí)現(xiàn)第二步遞推時(shí)的基礎(chǔ).
數(shù)學(xué)歸納法名為歸納法，實(shí)質(zhì)上與歸納法毫無邏輯聯(lián)系.按波利亞的說法“這個(gè)名字是隨便起的”.[1]歸納法是一種以特殊化和類比為工具的推理方法，是重要的探索發(fā)現(xiàn)的手段，是一種似真結(jié)構(gòu)；而數(shù)學(xué)歸納法是一種嚴(yán)格的證明方法，一種演繹法，它的實(shí)質(zhì)是“把無窮的三段論納入唯一的公式中”(龐加萊)，它得到的結(jié)論是真實(shí)可靠的.在皮亞諾提出“自然數(shù)公理”后，數(shù)學(xué)歸納法以歸納公理為理論基礎(chǔ)，得到了廣泛的確認(rèn)和應(yīng)用.而自然數(shù)中的“最小數(shù)原理”，則從反面進(jìn)一步說明了數(shù)學(xué)歸納法證題的可靠性.
數(shù)學(xué)歸納法雖不是歸納法，但它與歸納法有著一定程度的關(guān)聯(lián).在數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程中，往往先通過對大量個(gè)別事實(shí)的觀察，通過歸納形成一般性的結(jié)論，最終利用數(shù)學(xué)歸納法的證明解決問題.因此可以說論斷是以試驗(yàn)性的方式發(fā)現(xiàn)的，而論證就像是對歸納的一個(gè)數(shù)學(xué)補(bǔ)充[1]，即“觀察”+“歸納”+“證明”=“發(fā)現(xiàn)”.
二、教學(xué)目標(biāo)
1. 通過對具體問題的解決思路探尋，了解數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上歸納概括出數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟.
2. 體會數(shù)學(xué)歸納法的思想，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的恒等式.
3. 了解通過“觀察”“歸納”“證明”來發(fā)現(xiàn)定理的基本思路.
三、教學(xué)問題診斷
認(rèn)知基礎(chǔ)：
（1） 對正整數(shù)的特點(diǎn)的感性認(rèn)識；
（2） 對“無窮”的概念有一定的認(rèn)識和興趣；
（3） 在數(shù)列的學(xué)習(xí)中對遞推思想有一定的體會；
（4） 在生活經(jīng)驗(yàn)中接觸到一些具有遞推性質(zhì)的事實(shí)；
�。�5） 在“算法”循環(huán)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中有反復(fù)試用“循環(huán)體”的體會,雖然算法實(shí)現(xiàn)的
只能是有限步的循環(huán);(如下圖)
�。�6） 了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識的基礎(chǔ).
難點(diǎn)或疑點(diǎn)：
但數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結(jié)構(gòu)形式，運(yùn)用技巧，就是對其自身的可靠性，學(xué)生都有一定的疑慮，具體可能會體現(xiàn)在以下一些方面：
1.數(shù)學(xué)歸納法所要解決的是無窮多個(gè)命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問題，由此造學(xué)生在理解上的兩點(diǎn)困難：（1）對“無窮”的模糊認(rèn)知和神秘感；（2）對于一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題P(n)，會難以將其看作是一個(gè)隨自變量n變化的“命題值函數(shù)”.
2.為什么要引進(jìn)數(shù)學(xué)歸納法？驗(yàn)證為何不可行？
3.數(shù)學(xué)歸納法的兩步驟中，對第二步的認(rèn)識往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題，誤解為證明P(k+1)的真實(shí)性.由此造成對證明中何以用“假設(shè)”的不理解.
4.數(shù)學(xué)歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應(yīng)保證k從第一個(gè)值時(shí)的任意一個(gè)整數(shù)都能成立,由此只要第一個(gè)值成立，就能確保可以一直遞推下去.
5.數(shù)學(xué)歸納法中的遞推是一種無窮盡的動態(tài)過程，學(xué)生對于不斷反復(fù)地運(yùn)用步驟二來進(jìn)行推理的模式缺乏清晰的認(rèn)知.
數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用時(shí)對起點(diǎn)可作適當(dāng)?shù)钠疲瑢Φ诙降淖C明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進(jìn)行深入分析，本課側(cè)重解決對數(shù)學(xué)歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.
突破的關(guān)鍵：
由于中學(xué)階段對數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)缺乏理論基礎(chǔ)，因此學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是通過對具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解。
(1) 借助遞推數(shù)列
遞推數(shù)列通過相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系以及首項(xiàng)來確定數(shù)列，與數(shù)學(xué)歸納法的思想有著天然的聯(lián)系.
(2) 構(gòu)建直觀模型
上圖既有多米諾骨牌的形象又有數(shù)學(xué)的形式，加上命題式的推出符號更易理解若k則k+1的遞推語句，整體上又具有流程圖的程序結(jié)構(gòu)，能較好地反映出數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，可以使學(xué)生的思考有較形象直觀的載體.
（2）重視歸納概括
根據(jù)遞推思想，數(shù)學(xué)歸納法的證題過程可分解為以下無窮多個(gè)步驟：
第一步，P(1)真；
第二步，P(1)真??P(2)真；
第三步，P(2)真??P(3)真；
第四步，P(3)真??P(4)真；
…
用最少的步驟可概括為
第一步，P（1）真；
第二步以后各步都可歸納為一個(gè)命題的證明：P(k)真?P(k+1)真；即若P（k）真，則P（k+1）真.
同以上兩步，就可證得對任意的正整數(shù)n,都有P(n)為真.
對于這種抽象概括，學(xué)生在數(shù)列的學(xué)習(xí)以及算法的學(xué)習(xí)中是有經(jīng)驗(yàn)的和能力的.
四、教學(xué)支持條件
對于“無窮”與“遞推”的描述，僅靠語言及符號是蒼白的，借助于一些直觀形象的符號可以更有助于學(xué)生的想象與理解.
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬┱n前準(zhǔn)備
課前播放多米諾骨牌游戲的錄像，并將其類比遷移到對提問規(guī)則的制定:某個(gè)同學(xué)回答后，將話話筒傳遞給下一位同學(xué)回答問題.
設(shè)計(jì)意圖：一方面營造輕松的氛圍，另一方面滲透遞推思想，讓學(xué)生有感悟思想的機(jī)會
�。ǘ� 方法的形成
問題：已知數(shù)列｛an｝：師生活動：
學(xué)生進(jìn)行計(jì)算推理后，展示思考結(jié)果. ，求,.
教師追問：
（1）根據(jù)遞推公式出,說說你又是如何求得呢？
可以由出發(fā)，推出，再由推出,由推 預(yù)設(shè)：由前四項(xiàng)歸納猜想.
�。�2）歸納猜想的結(jié)果并不可靠，你能否對
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過對給以嚴(yán)格的證明嗎？ 的求解，體會到只需知道某一項(xiàng)，就可求出其下一項(xiàng)的值.通過直觀的框圖式結(jié)構(gòu)，可以使學(xué)生的思考有較形象直觀的載體.針對學(xué)生的回答情況，教師可進(jìn)行追問：
問1 : 利用遞推公式，命題中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。。。，由99可以推出100. 這樣要嚴(yán)格證明n=100結(jié)論成立，需要進(jìn)行多少個(gè)步驟的論證呢？ 第一步，； 第二步：； （由推） 第三步，； （由推） 第四步，
…… ； （由推）
第99步，；（由推）
第100步，
問2： 你能否只用最少的步驟就能證明這個(gè)結(jié)論呢？ . （由推）
預(yù)設(shè)：除了第一步論證之外，其余99個(gè)步驟的證明都可以概括成一個(gè)命題的'證明，即
轉(zhuǎn)化為對以下命題的證明：
若n取某一個(gè)值時(shí)結(jié)論成立，則n取其下一個(gè)值時(shí)結(jié)論也成立，即 若（），則. （*） （.）
問3： 你能進(jìn)一步說明命題（*）的證明對原命題的證明起到什么作用嗎？
問4： 有了命題（*）的證明，你能肯定嗎？你能肯定嗎？你能肯定 嗎？甚至你能肯定嗎？…
問5：給定及命題（*），你能推出什么結(jié)論呢？
預(yù)設(shè)：通過步步遞推，可以證明對任意的正整數(shù)n，結(jié)論都成立
問6：試寫出此命題的證明:
已知數(shù)列｛an｝：預(yù)設(shè)：證明: ，求證：.
(1) 當(dāng)n=1時(shí)，,所以結(jié)論成立.
(2) 假設(shè)當(dāng)n=k(k?N*)時(shí)，結(jié)論成立，即
則當(dāng)n=k+1時(shí) ，
篇二：2.3數(shù)學(xué)歸納法 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案
教學(xué)準(zhǔn)備
1.教學(xué)目標(biāo)
（1）知識與技能：理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
（2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。
�。�3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力。
2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)
【教學(xué)重點(diǎn)】：
借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
【教學(xué)難點(diǎn)】：
如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。
3.教學(xué)用具多媒體
4.標(biāo)簽
2.3 數(shù)學(xué)歸納法(1)
教學(xué)過程
課堂小結(jié)
適用：與正整數(shù)有關(guān)的命題 重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論； 注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉
篇三：數(shù)學(xué)歸納法(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)：
�。ㄒ唬┲R目標(biāo)：
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．
�。ǘ┣楦心繕�(biāo)：
進(jìn)一步培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生初步認(rèn)識有限與無限的辯證關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，欣賞數(shù)學(xué)的美與理．
�。ㄈ┠芰δ繕�(biāo)：
培養(yǎng)“大膽猜想，小心求證”的科學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的數(shù)學(xué)意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的合作交流的能力，使學(xué)生初步掌握由歸納到猜想再到證明的數(shù)學(xué)思想方法．
二、教學(xué)重點(diǎn)
掌握數(shù)學(xué)歸納法證明題目的步驟，掌握數(shù)學(xué)歸納法的一些應(yīng)用．
三、教學(xué)難點(diǎn)
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法第二個(gè)步驟中從k 到k+1的變化情況分析．
四、教學(xué)過程
�。ㄒ唬┮胝n題
將課前準(zhǔn)備好的多米諾骨牌擺好并進(jìn)行演示，觀察其中出現(xiàn)的“多米諾現(xiàn)象”：推倒頭一塊骨牌，它會帶倒第二塊，再帶倒第三塊，??，直到所有骨牌全部倒下．
假設(shè)多米諾骨牌有無窮多塊，在擺多米諾骨牌時(shí)，怎樣才能保證所有的骨牌一塊接一塊地倒下？
學(xué)生：首先必須推倒第一塊，接著是假如前面一塊倒下，要保證它倒下時(shí)會撞倒下一塊．這兩個(gè)條件滿足了，全部的骨牌都將倒下．
教師：生活中還有許多現(xiàn)象與“多米諾現(xiàn)象”類似，也都可以提出同樣的問題并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮時(shí)怎樣才能保證所有的鞭炮逐個(gè)地全部燃爆？在一列隊(duì)伍中傳達(dá)口令，怎樣才能保證口令能從第一個(gè)士兵開始逐個(gè)傳遍整個(gè)隊(duì)伍？
�。ǘ﹤魇谛轮�
教師：現(xiàn)在我們把骨牌想象為一系列無窮多個(gè)編了號的命題：P1,P2,P3,?,假定我們能夠證明最初的一個(gè)命題P1正確（奠基）；由每一個(gè)命題Pk的正確性都可以推出它的下一個(gè)命題Pk?1的正確性（過渡）．那么我們便證明了這一系列命題的正確性．請將這個(gè)過程與多米諾現(xiàn)象進(jìn)行類比．
在數(shù)學(xué)中這種證明問題的方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．在數(shù)學(xué)中采用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，有以下兩個(gè)步驟：
第一步，證明n?1時(shí)命題成立；
第二步，證明：如果n?k時(shí)命題成立，那么n?k?1時(shí)命題也成立．
根據(jù)以上兩步可以斷定，命題對任何正整數(shù)n都成立．
１．用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，那么an?a1?(n?1)d對
一切n?N?都成立．
【證明】（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊＝a1，右邊＝a1?0?d?a1，等式成立；
�。�2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)，等式成立，即ak?a1?(k?1)d，
那么ak?1?ak?d?[a1?(k?1)d]?d?a1?[(k?1)?1]d．
這表明，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立．
根據(jù)（1）、（2）可以斷定，等式對任何正整數(shù)都成立．
n?1時(shí)等式成立；n?1?1?2教師：在例1解題過程中，根據(jù)（1），再根據(jù)（2），
?1?3時(shí)等式也成立．這時(shí)等式也成立．由于n?2時(shí)等成立．再根據(jù)（2），n?2
樣遞推下去，就知道n?4,5,6,?時(shí)等式都成立，即等式對任何n?N?都成立．請
歸納出以上的證明步驟．
學(xué)生：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟是：
�。�1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；
�。�2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?N?,且k?n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確．
在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確．
正確使用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是在第二個(gè)步驟，只有應(yīng)用了假設(shè)條件去推理，證明過程才是有效的，沒有應(yīng)用假設(shè)條件的證明過程并不是在使用數(shù)學(xué)歸納法．
教師：數(shù)學(xué)歸納法的思想可以遠(yuǎn)推至歐幾里得﹝前330-前275﹞．嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納法是在16世紀(jì)后期才引入的．1575年意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家莫洛克斯﹝1494-1575﹞在他的《算術(shù)》一書中明確提出了這一方法，并且用它證明了“1?3?5???(2n?1)?n2”等；法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡﹝1623-1662﹞承認(rèn)莫洛克斯引用了這方法，并在他的著作《三角陣算術(shù)》中運(yùn)用了這一方法．因此，一般認(rèn)為帕斯卡是數(shù)學(xué)歸納法的主要發(fā)明人．由于帕斯卡還沒有表示任意自然數(shù)的符號，因此組合公式及證明只能用敘述的方法，1686年J?伯努利首先采用了表示任意自然數(shù)的符號，在他的名著《猜度術(shù)》﹝1713﹞中包含運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的出色例子．“數(shù)學(xué)歸納法”這個(gè)名稱及數(shù)學(xué)歸納法的證題形式是德?摩根﹝1806-1871﹞所提出的．皮亞諾﹝1858-1932﹞的自然數(shù)公理中包含了歸納原理．
（三）講解例題：
�。�.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?2?3???n?1
2n(n?1)．
【證明】（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)，等式成立，即1?2?3???k?
那么1?2?3???k?(k?1)?
?1
2(k?1)(k?2)?112k(k?1)?(k?1) 12k(k?1)， 2
這表明，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立． (k?1)[(k?1)?1]．
根據(jù)（1）、（2）可以斷定，等式對任何正整數(shù)都成立．
�。玻笞C對于任何非負(fù)整數(shù)n，都有2n?n?1．
【證明】（1） 當(dāng)n?0時(shí)，20?1?0?1，不等式成立．
�。�2）設(shè)當(dāng)n?k時(shí)，2k?k?1．
則n?k?1時(shí)，2k?1?2?2k?2(k?1)?(k?1)?1．
n綜上所述，對于任何非負(fù)整數(shù)n，都有2?n?1． ３．證明，其中n∈N*．
【評析】用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是第二步，要注意當(dāng)n=k+1時(shí)，等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系，或增加了哪些項(xiàng)，或減少了哪些項(xiàng)，問題就容易解決．
【證明】（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1=2，右邊?21?1?2，等式成立．
�。�2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，
即
當(dāng)n=k+1時(shí)， ．則
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
由（1）、（2）可知，對一切n∈N*，等式成立．
教師：數(shù)學(xué)歸納法只能在有了問題結(jié)論時(shí)才能使用，獲取問題的結(jié)論需借助合情推理，所以，“觀察—分析—?dú)w納—猜想—證明”才是從發(fā)現(xiàn)問題至解決問題的完整過程．如果問題與自然數(shù)有關(guān)，一般可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法去證明．
教師：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義，利用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，上述兩步驟缺一不可．如果只有第一步?jīng)]有第二步的證明，則它是屬于不完全歸納法，作出的結(jié)論就不一定真實(shí)可靠，而有了第二步的證明，在數(shù)學(xué)歸納原理的保證下，才使得結(jié)論是完全可靠的．但要注意，僅有第二步而無第一步的證明，結(jié)論也是不一定真實(shí)的．同時(shí)要注意，數(shù)學(xué)歸納法有別于上面提到的完全歸納法和不完全歸納法，它是根據(jù)歸納原理綜合運(yùn)用歸納、演繹推理的一種特殊的數(shù)學(xué)證明方法．
利用數(shù)學(xué)歸納法來證明某些與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，核心問題是用“n?k時(shí)命題成立”的假設(shè)條件證明“n?k?1時(shí)命題成立”，證明時(shí)要通過比較找出二者之間的差異，才能實(shí)現(xiàn)中間的過渡．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證較多地使用在關(guān)于恒等式、不等式、數(shù)列、幾何以及整除類等問題中．
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