已知三角函數(shù)值求角的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
一．教學(xué)目標(biāo)
1．理解反正弦、反余弦、反正切的意義，并會(huì)用反三角符號(hào)表示角．
2．掌握用反三角表示 中的角．
二．教具
直尺、投影儀
三．教學(xué)過(guò)程
1．設(shè)置情境
由函數(shù) 的定義知，對(duì)定義域 中的任一元素 ，在值域 中都有一個(gè)元素 使 ，我們知道， 存在反函數(shù)時(shí)，上述值域 中的元素不僅存在，而且惟一，這時(shí)可以用 表示 ，記作 。
到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦、正切三種重要的三角函數(shù)．試問，三角函數(shù)是否具有反函數(shù)屬性，即能否用三角函數(shù)值反映角的大小呢？如果能，又怎樣表示呢？本節(jié)課就來(lái)討論這個(gè)問題，
2．探索研究
請(qǐng)同學(xué)回憶一下
�。�1） ， ， ， 的誘導(dǎo)公式．
�。�2）師： ， ， 分別表示 與 的正弦值相等， 與 的余弦值相等， 與 的正切值相等，能否說(shuō)它們表示的角也相等？為什么？
生：不能，因?yàn)樵?～ 間對(duì)一個(gè)已知的三角函數(shù)值一般都有兩個(gè)角度與它對(duì)應(yīng)．
師：對(duì)，同學(xué)們知道，利用誘導(dǎo)公式，我們可以求得任意角三角函數(shù)值，反過(guò)來(lái)，如果已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，我們利用誘導(dǎo)公式也將能求出 中與之對(duì)應(yīng)的角．這兩個(gè)過(guò)程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范圍內(nèi)可以是一個(gè)、二個(gè)，也可以是無(wú)數(shù)多個(gè)不同的解．
（板書課題——已知三角函數(shù)值求角（一））
請(qǐng)同學(xué)們看一個(gè)例題：
【例1】（1）已知 ，且 ，求 ．
�。�2）已知 ，且 ，求 的取值集合．
師生共同分析：
（1）由正弦函數(shù)在閉區(qū)間 上是增函數(shù)和 ．可知符合條件的角有且只有一個(gè)，即 ，于是 ．
（2）因?yàn)?，所以 是第一或第二象限角，由正弦函數(shù)的單調(diào)性和 可知，符合條件的'角有且只有兩個(gè)，即第一象限角 或第二象限角 ，∴所求的 的集合是 ．
下面給出反正弦概念，請(qǐng)看投影：
觀察上圖，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像的性質(zhì)，為了使符合條件 的角 有且只有一個(gè)，我們選擇閉區(qū)間 作為基本范圍，在這個(gè)閉區(qū)間上，符合條件 的角 ，叫做實(shí)數(shù) 的反正弦，記作 ，即 ，其中 ，且 ．
表示的意義： 表示一個(gè)角，角的特點(diǎn)是①角的正弦值為x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有滿足 的角都可以，只能是 范圍內(nèi)滿足 的角；③由于x為角的正弦值，所以x的值在范圍內(nèi)．
例如， ， ．那么例1中第（2）小題答案可以寫成 ．
練習(xí)（投影）
（1） 是什么意思？
�。�2）若 ， ，則 ．
�。�3）若 ， ， ．
參考答案：
�。�1）表示 上正弦值等于 的那個(gè)角，其實(shí)應(yīng)是 ，故記作
（2）這個(gè) 應(yīng)該是 ，因此
�。�3） ，它不是特殊角，故只能這樣抽象表示了．
下面再來(lái)建立反余弦概念．
先看下面例題：
【例2】（1）已知 ，且 ，求 ；
�。�2）已知 ，且 ，求 的取值集合．
師生共同分析：
解：（1）由余弦函數(shù)在閉區(qū)間 上是減函數(shù)和 ，可知符合條件的角有且只有一個(gè)，這個(gè)角為鈍角，利用計(jì)算器并由 ，可得 ，所以 ．
�。�2）因?yàn)?，所以 是第二或第三象限角，由余弦函數(shù)的單調(diào)性和．
可知符合條件的角有且只有兩個(gè)，即第二象限角 或第三象限角 ，于是所求的 的集合是 ．
下面我們來(lái)給出反余弦定義，先看投影
觀察上圖，根據(jù)余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，為了使符合條件 的角 有且只有一個(gè)，我們選擇閉區(qū)間 作為基本的范圍，在這個(gè)閉區(qū)間上，符合條件 的角 ，叫做實(shí)數(shù) 的反余弦，作 ，即 ，其中 ，且 ．
由學(xué)生根據(jù)反正弦的意義說(shuō)明反余弦 的意義：
表示的意義： 表示一個(gè)角，角的特點(diǎn)是①角的余弦值為x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有滿足 的角都可以，只能是 范圍內(nèi)滿足 的角；③由于x為角的余弦值，所以x的值在范圍內(nèi)．
例如
那么，例2的第（2）題的答案可以寫成．
練習(xí)（投影）
（1） ， ，求 ；
�。�2）已知 ， ，求 ；
（3）已知 ， ，求 ．
參考答案：
（1） ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，∴ 或 ．
（2）∵ ，∴ 或
（3） ，或 ．
最后，我們來(lái)嘗試用反三角表示角，請(qǐng)看投影．
【例3】（1）已知 ，且 ，求 （用弧度表示）；
�。�2）已知 ，且 ，求 的取值集合．
解：（1）利用計(jì)算器并由
可得 ，所以 （或 ）也可寫成
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性和
可知 角， 角的正弦值也是 ，所以所求的 的集合是 或
注：本例第（2）小題的結(jié)果實(shí)際上就是
3．演練反饋（投影）：
�。�1）若 ， ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
�。�2）若 ，集合 ， 且 ，則 的值為___________．
�。�3） ．
參考答案：
�。�1）B．說(shuō)明： 應(yīng)為鈍角，故只有B．
�。�2） ，說(shuō)明 ，只有 ，故
�。�3）∵
∴
4．總結(jié)提煉
（1）反三角函數(shù)的概念是中學(xué)數(shù)學(xué)較難理解的概念之一，它之所以難以理解是由于三角函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)并不存在反函數(shù)，只有在某一特定區(qū)間才存在反函數(shù)因此，反三角函數(shù)的值域也就被限制在某一區(qū)間內(nèi)，這個(gè)區(qū)間常稱為反三角函數(shù)的主值區(qū)間，如 ， 分別為反正弦、反余弦主值區(qū)間．解題出錯(cuò)，往往是主值區(qū)間概念不清．
�。�2）由反正弦、反余弦定義，不難得：
�。�3）用反三角表示 中角
已知函數(shù)值
范圍
值及位置
在 軸正半軸
四．板書設(shè)計(jì)
課題
例1
反正弦概念
例2
反余弦概念
例3
用反三角函數(shù)表示角
演練反饋
總結(jié)提煉
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