高二數(shù)學(xué)等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

時(shí)間：2021-04-28 13:36:41 教學(xué)設(shè)計(jì) 我要投稿

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　　(一)教學(xué)目標(biāo)

高二數(shù)學(xué)等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

　　1.知識(shí)與技能:通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題;體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

　　2. 過(guò)程與方法:讓學(xué)生對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題分析，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列的概念;由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過(guò)程中，通過(guò)類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問(wèn)題的研究。

　　3.情態(tài)與價(jià)值:培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

　　(二)教學(xué)重、難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。

　　難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。

　　(三)學(xué)法與教學(xué)用具

　　學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題(數(shù)數(shù)問(wèn)題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問(wèn)題、水庫(kù)水位問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題)概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;可以用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

　　教學(xué)用具：投影儀

　　(四)教學(xué)設(shè)想

　　[創(chuàng)設(shè)情景]

　　上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問(wèn)題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。

　　[探索研究]

　　由學(xué)生觀察分析并得出答案：

　　(放投影片)在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，____,____,____,____,……

　　2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列(單位：kg)：48，53，58，63。

　　水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫(kù)的雜魚。如果一個(gè)水庫(kù)的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列(單位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5

　　我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×寸期).例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：

　　時(shí)間年初本金(元)年末本利和(元)

　　第1年10 00010 072

　　第2年10 00010 144

　　第3年10 00010 216

　　第4年10 00010 288

　　第5年10 00010 360

　　各年末的本利和(單位：元)組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

　　思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，…… ①

　　48，53，58，63 ②

　　18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

　　10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④

　　看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢?

　　(由學(xué)生討論、分析)

　　引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：

　　對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 5 ;

　　對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 5 ;

　　對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 -2.5 ;

　　對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 72 ;

　　由學(xué)生歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)(即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn))。

　　[等差數(shù)列的概念]

　　對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：

　　等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

　　這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。

　　提問(wèn)：如果在

　　與

　　中間插入一個(gè)數(shù)A，使

　　，A，

　　成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件?

　　由學(xué)生回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：

　　A-a=b-A

　　所以就有

　　由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。

　　不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。

　　如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)。

　　看來(lái)，

　　從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則

　　[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]

　　對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來(lái)呢?這是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

　�、�、我們是通過(guò)研究數(shù)列

　　的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的`定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

　　由學(xué)生經(jīng)過(guò)分析寫出通項(xiàng)公式：

　�、� 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5，第2項(xiàng)是10(=5+5)，第3項(xiàng)是15(=5+5+5)，第4項(xiàng)是20(=5+5+5+5)，……由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

　�、� 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是48，第2項(xiàng)是53(=48+5)，第3項(xiàng)是58(=48+5×2)，第4項(xiàng)是63(=48+5×3)，由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

　　③ 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5(=18-2.5)，第3項(xiàng)是13(=18-2.5×2)，第4項(xiàng)是10.5(=18-2.5×3)，第5項(xiàng)是8(=18-2.5×4)，第6項(xiàng)是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

　　④ 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072，第2項(xiàng)是10144(=10172+72)，第3項(xiàng)是10216(=10072+72×2)，第4項(xiàng)是10288(=10072+72×3)，第5項(xiàng)是10360(=10072+72×4)，由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

　　⑵、那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)

　　和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢?

　　引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：

　　(n-1)個(gè)等式

　　所以

　　……

　　思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢?

　　……

　　得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜想得出：以

　　為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列

　　的通項(xiàng)公式為：

　　也就是說(shuō)，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)

　　和公差d，那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)

　　就可以表示出來(lái)了。

　　選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

　　(迭加法)：

　　是等差數(shù)列，所以

　　……

　　兩邊分別相加得

　　所以

　　(迭代法)：

　　是等差數(shù)列，則有

　　……

　　所以

　　[例題分析]

　　例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng).

　�、�-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)?

　　分析：⑴要求出第20項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來(lái)。首項(xiàng)知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差;

　�、七@個(gè)問(wèn)題可以看成是上面那個(gè)問(wèn)題的一個(gè)逆問(wèn)題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義。

　　解：⑴由

　　=8，d=5-8=-3，n=20，得

　�、朴�

　　=-5，d=-9-(-5)=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為

　　由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。

　　解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。

　　例題評(píng)述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于

　　、

　　、d、n(獨(dú)立的量有3個(gè))的方程;另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來(lái)判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。

　　(放投影片)例2.某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4千米)計(jì)費(fèi)10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)?

　　解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列

　　來(lái)計(jì)算車費(fèi).

　　令

　　=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)

　　答：需要支付車費(fèi)23.2元。

　　例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

　　(放投影片)思考例題：例3 已知數(shù)列

　　的通項(xiàng)公式為

　　其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?

　　分析：判定

　　是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看

　　(n>1)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)。

　　解：取數(shù)列

　　中的任意相鄰兩項(xiàng)

　　(n>1)，

　　求差得

　　它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的數(shù).

　　所以

　　是等差數(shù)列。

　　課本左邊“旁注”：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少?

　　這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)

　　。由此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式是形如

　　的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.

　　例題評(píng)述：通過(guò)這個(gè)例題我們知道判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列。

　　[探究]

　　引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖研究完成以下探究：

　�、旁谥苯亲鴺�(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為

　　的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)?

　�、圃谕粋€(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么?據(jù)此說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列

　　與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。

　　分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時(shí)，對(duì)應(yīng)的

　　可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過(guò)描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn);

　�、飘嫵龊瘮�(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象(點(diǎn))在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列

　　的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。

　　該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列

　　中的p的幾何意義去探究。

　　[隨堂練習(xí)]

　　例1之后：課本45頁(yè)“練習(xí)”第1題;

　　例2之后：課本45頁(yè)“練習(xí)”第2題;

　　[課堂小結(jié)]

　　本節(jié)主要內(nèi)容為：

　　①等差數(shù)列定義：即

　　(n≥2)

　�、诘炔顢�(shù)列通項(xiàng)公式：

　　(n≥1)