初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中考點(diǎn)分析和探討
一、問(wèn)題提出
《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）呈現(xiàn)了三維目標(biāo)（知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀），[1]這就決定了初中階段結(jié)束時(shí)學(xué)業(yè)考試的試題框架設(shè)計(jì)中不僅要體現(xiàn)對(duì)原有知識(shí)技能考核的要求，還要體現(xiàn)出對(duì)過(guò)程方法考核的要求.要達(dá)到全面、準(zhǔn)確地反映初中畢業(yè)生學(xué)科學(xué)習(xí)所達(dá)到水平的目的，學(xué)業(yè)考試作為測(cè)量的一種工具，如何合理、有效地測(cè)量學(xué)生在“過(guò)程與方法”方面所達(dá)到的水平，對(duì)我們來(lái)說(shuō)是較陌生的領(lǐng)域，對(duì)于目前命題及相關(guān)技術(shù)的運(yùn)用是一個(gè)挑戰(zhàn).
在《標(biāo)準(zhǔn)》中，對(duì)于初中階段，就“過(guò)程與方法”目標(biāo)分兩部分做出描述，一是過(guò)程經(jīng)歷，二是能力培養(yǎng)與方法習(xí)得.其中對(duì)于過(guò)程經(jīng)歷，《標(biāo)準(zhǔn)》分別從代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)整理及概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)方面進(jìn)行描述.
代數(shù)部分有如下表述：經(jīng)歷采用觀察、畫圖或計(jì)算器等手段估計(jì)方程解以及利用等式性質(zhì)和運(yùn)算率探求方程解的過(guò)程，經(jīng)歷利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中一類數(shù)量關(guān)系和探求未知量的有效數(shù)學(xué)模型.經(jīng)歷建立函數(shù)關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)是反映兩個(gè)變量相互依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是揭示兩個(gè)變量變化規(guī)律的有效工具.
對(duì)于代數(shù)部分過(guò)程經(jīng)歷的描述，充分利用“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”“體會(huì)”等行為動(dòng)詞，體現(xiàn)出對(duì)教與學(xué)的行為要求和教學(xué)實(shí)施的過(guò)程要求，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的相關(guān)要求.但如何將其轉(zhuǎn)化為在學(xué)業(yè)水平考試中相應(yīng)可操作的考核要求仍是問(wèn)題.
《標(biāo)準(zhǔn)》將過(guò)程經(jīng)歷在不同的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容層面進(jìn)行了分別描述，面對(duì)目前數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中相關(guān)試題往往會(huì)出現(xiàn)不同知識(shí)內(nèi)容領(lǐng)域的綜合情況，如何解釋相關(guān)“過(guò)程”的要求？對(duì)于在能力培養(yǎng)與方法習(xí)得部分，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)如邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間觀念等能力進(jìn)行了簡(jiǎn)要的描述，但沒(méi)有進(jìn)一步細(xì)化為在具體“過(guò)程”中如何體現(xiàn)，即能力培養(yǎng)與方法習(xí)得和過(guò)程經(jīng)歷兩部分之間沒(méi)有建立清晰而明確的聯(lián)系，因此，給學(xué)業(yè)水平考試命題帶來(lái)了很多困難（如何體現(xiàn)能力，如何清晰表現(xiàn)過(guò)程等）的同時(shí)，也反映出目前《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)評(píng)價(jià)操作層面在指導(dǎo)作用上存在著不足，至少在“過(guò)程”目標(biāo)維度上是如此.
鑒于上述《標(biāo)準(zhǔn)》在“過(guò)程與方法”目標(biāo)上的確立和要求給學(xué)業(yè)水平考試操作上帶來(lái)的挑戰(zhàn)和困難，我們有必要來(lái)借鑒其他國(guó)家甚至一些國(guó)際上大型的測(cè)試項(xiàng)目的成功經(jīng)驗(yàn).在本文中，我們通過(guò)分析學(xué)業(yè)水平考試及PISA（國(guó)際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目）數(shù)學(xué)部分對(duì)“過(guò)程”的考查，指出在目前國(guó)內(nèi)初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中，在“過(guò)程”體現(xiàn)方面需要進(jìn)一步思考的地方.
二、數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中對(duì)于“過(guò)程和方法”的考核及運(yùn)用
1.“過(guò)程和方法”考核框架構(gòu)建與思考
目前整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試測(cè)試框架如下頁(yè)圖1所示，由“知識(shí)與技能”和“過(guò)程與方法”兩部分構(gòu)成，呈現(xiàn)出兩維的框架結(jié)構(gòu).在“知識(shí)和技能”部分，主要考查五個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域：數(shù)與運(yùn)算、代數(shù)與方程、函數(shù)與分析、數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計(jì)、圖形與幾何；在“過(guò)程與方法”部分，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間觀念、解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力.
應(yīng)該說(shuō)在目前的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試框架中，對(duì)于過(guò)程維度的體現(xiàn)主要表現(xiàn)在對(duì)相關(guān)能力的考查上.在考試手冊(cè)中，沒(méi)有對(duì)“過(guò)程”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行描述，一定層面上簡(jiǎn)化了《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“過(guò)程”的理解，從測(cè)量角度，將過(guò)程體現(xiàn)與能力考查做了等同.
2.試題例舉
例1 “創(chuàng)意設(shè)計(jì)”公司員工小王不慎將墨水潑在一張?jiān)O(shè)計(jì)圖紙上，導(dǎo)致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看不清楚（如圖2所示）.已知圖紙上的圖形是某建筑物橫斷面的示意圖，它是以圓0的半徑0C所在的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，A是0D與圓0的交點(diǎn).
�。�1）請(qǐng)你幫助小王在圖3中把圖形補(bǔ)畫完整；
（2）由于圖紙中圓0的半徑r的值已看不清楚，根據(jù)上述信息（圖紙中i=1∶0.75是坡面CE的坡度），求r的值.
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
�。�1）圖形正確.……………………（賦分點(diǎn)）
測(cè)量目標(biāo)：第（1）問(wèn)考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力；第（2）問(wèn)考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、運(yùn)算能力、空間觀念、解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力.
考試內(nèi)容：代數(shù)與方程，圖形與幾何.
本題是某年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷的一道試題.試題題干賦予一個(gè)生活實(shí)際情境，整道試題著重考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.從試題的賦分分布分析，賦分點(diǎn)更多注意了考核知識(shí)領(lǐng)域的分布，但賦分點(diǎn)在體現(xiàn)考核的能力指向上模糊，更談不上明確地指向考核能力的相應(yīng)要求層次.從賦分的角度可以看出，在考核“過(guò)程”維度上，考核的可操作性不強(qiáng).
三、PISA數(shù)學(xué)測(cè)試對(duì)于“過(guò)程”的認(rèn)識(shí)
1.對(duì)于“過(guò)程”的理解
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，PISA測(cè)試學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)心的是學(xué)生遇到各種情境的問(wèn)題，在“數(shù)學(xué)化（mathematise）”過(guò)程中，學(xué)生分析、說(shuō)理和交流的能力.
在PISA數(shù)學(xué)測(cè)試中，將數(shù)學(xué)內(nèi)容、過(guò)程、情境作為測(cè)試框架中最重要的三個(gè)部分.其中對(duì)于過(guò)程，指的`是“數(shù)學(xué)化（mathematise）”的過(guò)程，它包括：（1）現(xiàn)實(shí)情境中問(wèn)題的提出；（2）將問(wèn)題與相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系；（3）通過(guò)假設(shè)或概括，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（4）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；（5）反思，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的結(jié)果符合現(xiàn)實(shí)情境，如圖4所示.[2]
2.關(guān)于“過(guò)程”考核框架的構(gòu)建
在PISA數(shù)學(xué)測(cè)試框架中，主要由三個(gè)部分組成，其中主要的部分就是對(duì)“過(guò)程”的考核，具體如下：
數(shù)學(xué)內(nèi)容：包括四個(gè)部分——數(shù)量、空間和圖形、變化和聯(lián)系、不確定性.
過(guò)程：針對(duì)數(shù)學(xué)化過(guò)程中不同的階段可能需要不同的能力（competency），為了明確和考查這些能力，PISA在數(shù)學(xué)測(cè)試中列出了八個(gè)能力：思考和推理（thinking and reasoning），論證（argumention）、交流（communication），建模（modeling），問(wèn)題的形成和解決（problem posing and solving），表征（representation），使用符號(hào)化、形式化的和技術(shù)性的語(yǔ)言和操作（using symbolic formal and technical language and operations）及計(jì)算，工具的使用（use of aids and tools），這些能力的特征、表現(xiàn)形式，PISA借鑒了Niss[3]的工作.
PISA意識(shí)到這些數(shù)學(xué)能力不能人為地被分割到不同的試題中，針對(duì)某道數(shù)學(xué)試題，假設(shè)一定范圍內(nèi)的能力得到了應(yīng)用，PISA根據(jù)思維過(guò)程中不同的能力認(rèn)知活動(dòng)層面定義了三個(gè)“能力群”：再現(xiàn)能力群（reproduction cluster）、聯(lián)系能力群（connections cluster）和反思能力群（reflection cluster），八個(gè)能力在不同的能力群上有不同的表現(xiàn)要求，具體表現(xiàn)見(jiàn)文[4].
PISA數(shù)學(xué)測(cè)試中，通過(guò)試題在不同能力上的要求，針對(duì)上述三個(gè)不同能力群的描述，盡可能地將設(shè)計(jì)試題劃歸到某個(gè)能力群中.雖然試題可能仍存在不同的能力要求，但是保證了試題在整個(gè)能力群上的歸類.具體的方法是，分析試題的認(rèn)知要求和學(xué)生在小規(guī)模先導(dǎo)性測(cè)試（small scale pre-pilot）的應(yīng)答情況，評(píng)估試題在八個(gè)能力上的表現(xiàn)，如果每一個(gè)能力表現(xiàn)都吻合再現(xiàn)能力群中能力的表現(xiàn)，則該試題被劃歸為再現(xiàn)能力群；如果每一個(gè)能力表現(xiàn)都吻合反思能力群中相應(yīng)能力的表現(xiàn)，則該試題被劃歸為反思能力群，除此之外，試題被劃歸為聯(lián)系能力群.這也可以避免在試題賦分過(guò)程中能力指向不明，同時(shí)也是保證能力層次要求的體現(xiàn).
情境：由于數(shù)學(xué)素養(yǎng)關(guān)注學(xué)生在各種問(wèn)題情境中解決問(wèn)題過(guò)程的能力，問(wèn)題的情境作為問(wèn)題解決的刺激材料，體現(xiàn)一個(gè)“真實(shí)性”的特征，激活相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和能力是很重要的一個(gè)方面.PISA根據(jù)與學(xué)生生活實(shí)際的遠(yuǎn)近，提供了四種類型的情境：個(gè)人情境（personal），教育或職業(yè)情境（educational and occupational），公共情境（public），科學(xué)情境（scientific）.這些情境的設(shè)置和有效體現(xiàn)，有利于過(guò)程考核中學(xué)生認(rèn)知水平真實(shí)、充分地體現(xiàn).
上述這三個(gè)部分的聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖如下.
其中問(wèn)題呈現(xiàn)形式是指試題呈現(xiàn)的題型及題干材料的不同呈現(xiàn)方式，如表格、圖形、圖象等.
3.試題例舉
例2 南極洲的面積[5].
如圖5，請(qǐng)你根據(jù)地圖上的比例尺，估計(jì)南極洲的實(shí)際面積.要求：顯示你的工作痕跡，并解釋你是如何估計(jì)的（如果你認(rèn)為對(duì)你的估計(jì)有幫助，可以在地圖上畫）.
本題考核的能力層次為聯(lián)系能力群：考核的內(nèi)容為空間和圖形；情境屬于個(gè)人情境范疇.本題屬于開(kāi)放型試題，其賦分采用雙位編碼形式，首位給出了學(xué)生應(yīng)得的分?jǐn)?shù)，末位則按照學(xué)生在解決給定問(wèn)題的過(guò)程中所使用的策略或是按照阻礙學(xué)生得出正確解決方案的錯(cuò)誤概念給出特定代碼，這種賦分方式有利于后期數(shù)據(jù)分析的進(jìn)行以及最終評(píng)價(jià)結(jié)果報(bào)告的生成（具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)略）.
四、分析與思考
1.在測(cè)量中，需要加強(qiáng)對(duì)“過(guò)程”的學(xué)科理解
無(wú)論是初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的框架，還是PISA數(shù)學(xué)測(cè)試相應(yīng)部分的框架，都注重在能力上的考核.然而在“過(guò)程”的體現(xiàn)上，學(xué)業(yè)水平考試將能力的體現(xiàn)與“過(guò)程”的表現(xiàn)等同，PISA數(shù)學(xué)測(cè)試將考核能力圍繞“數(shù)學(xué)化”過(guò)程的各個(gè)階段展開(kāi)，體現(xiàn)出在能力考查中的連接作用.
學(xué)業(yè)水平考試沒(méi)有明確給出“過(guò)程”的描述或界定，將“過(guò)程”的體現(xiàn)默認(rèn)為能力的體現(xiàn)，將四種能力（運(yùn)算能力、空間觀念、邏輯推理能力、解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力）的表現(xiàn)作為考核“過(guò)程”的重心；對(duì)照PISA數(shù)學(xué)測(cè)試，“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，描述出了問(wèn)題解決過(guò)程中各個(gè)階段運(yùn)用的模型.這個(gè)模型既體現(xiàn)出了問(wèn)題解決的過(guò)程，也體現(xiàn)出學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程.應(yīng)該說(shuō)，PISA數(shù)學(xué)測(cè)試對(duì)于“數(shù)學(xué)化”過(guò)程模型的清晰描述為能力的考核提供了平臺(tái)，為試題在能力考查上的設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)提供了支撐點(diǎn)，起到基石的作用.這實(shí)際上也明確回答了一個(gè)問(wèn)題，通過(guò)能力的考查在哪些方面或哪些階段需要體現(xiàn)出對(duì)“過(guò)程”的要求.顯然對(duì)于“過(guò)程”的理解，不僅是《標(biāo)準(zhǔn)》的需要，更是能力考查的根本.在這方面初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試框架沒(méi)有很好地體現(xiàn)出對(duì)于“過(guò)程”的理解.
2.在“過(guò)程”考查中，能力的體現(xiàn)要更加有助于提升試題的有效性
對(duì)于“過(guò)程”在測(cè)試系統(tǒng)中的不同理解，決定了在具體試題編制后產(chǎn)生不同的結(jié)果.
《標(biāo)準(zhǔn)》中針對(duì)學(xué)科中不同的內(nèi)容領(lǐng)域來(lái)描述“過(guò)程經(jīng)歷”，強(qiáng)調(diào)知識(shí)體系自身的發(fā)展脈絡(luò)過(guò)程，所以命題的具體操作性不強(qiáng)，初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試，將“過(guò)程”簡(jiǎn)化成等同于四個(gè)能力的考查.但是，這個(gè)簡(jiǎn)化帶來(lái)的直接結(jié)果就是除了在試題命制上對(duì)于能力的體現(xiàn)比較隨意，使得命題人員不易控制，除了控制知識(shí)分布的局面之外，由于試題的解答過(guò)程可能需要學(xué)生表現(xiàn)出的不僅僅是一種能力，所以就給賦分帶來(lái)挑戰(zhàn)，即必須明確所賦的分值所指向的具體能力，同時(shí)不同的分值應(yīng)該明確對(duì)應(yīng)不同層次的能力.從例1的賦分情況看，顯然沒(méi)有很好地解決上述問(wèn)題.在學(xué)業(yè)水平考試中，將“過(guò)程”過(guò)分簡(jiǎn)化成四大能力的考查，既給命題操作帶來(lái)困難，同時(shí)也直接影響了試卷的考核效度.
在PISA數(shù)學(xué)測(cè)試中，基于對(duì)“數(shù)學(xué)化”過(guò)程的理解，要求體現(xiàn)學(xué)生在問(wèn)題解決的不同階段的能力表現(xiàn)，在明確考核八個(gè)能力的同時(shí)，進(jìn)一步界定八個(gè)能力在三個(gè)能力群上的不同表現(xiàn)，既體現(xiàn)出學(xué)生在問(wèn)題解決階段中整體能力的層次性，又有利于試題解答的相應(yīng)賦分.從例2我們看到完全不同于初中學(xué)業(yè)水平考試的賦分方式，這種賦分雖然不能明確指向具體的能力，但是充分體現(xiàn)出具體的能力群的要求，有效體現(xiàn)出對(duì)能力層次的要求.這也使得學(xué)生在試題得分的可解釋程度得到了有力的保證，特別是對(duì)于能力層次的解釋得到了極大的保證.
3.“過(guò)程”考核框架的制定要更注意操作的可行性
在上述對(duì)學(xué)業(yè)水平考試及PISA數(shù)學(xué)測(cè)試對(duì)“過(guò)程”的分析中，從框架的制定到試題的呈現(xiàn)，看到了框架對(duì)試題成型的指導(dǎo)作用，體現(xiàn)出了對(duì)相關(guān)框架的可操作程度的關(guān)注.
學(xué)業(yè)水平考試的目的是全面、準(zhǔn)確地反映初中畢業(yè)生學(xué)科學(xué)習(xí)所達(dá)到的水平.對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科，學(xué)生對(duì)于基本概念的理解以及問(wèn)題解決 過(guò)程中認(rèn)知過(guò)程及水平層次的體現(xiàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)水平考試的重點(diǎn).對(duì)于“過(guò)程”維度體現(xiàn)學(xué)生的水平層次，主要體現(xiàn)在框架中考核的能力層次上，這是學(xué)業(yè)水平考試和PISA數(shù)學(xué)測(cè)試都關(guān)注的地方.然而就目前學(xué)
水平考試“過(guò)程”維度考核框架而言，沒(méi)有體現(xiàn)出能力水平層次要求及相應(yīng)具體表現(xiàn)，這直接導(dǎo)致針對(duì)考試目的，在操作層面的能力水平層次的評(píng)價(jià)缺乏足夠的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)；而在這方面，PISA數(shù)學(xué)測(cè)試通過(guò)能力群（再現(xiàn)能力群、聯(lián)系能力群、反思能力群）的構(gòu)建，體現(xiàn)出了能力的層次性，這也有助于在相應(yīng)試題的命制中，能力層次的體現(xiàn)不僅是測(cè)試目標(biāo)的需要，也是具體操作中一個(gè)可行的步驟.
綜上所述，針對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)于“過(guò)程”的描述和要求，在實(shí)際學(xué)業(yè)水平考試框架制定中將“過(guò)程”等同于針對(duì)能力方面的測(cè)試，這種簡(jiǎn)化對(duì)從根本上真正確立有效的、可供操作的考核框架沒(méi)有幫助，這也直接影響了試題的編制、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的制定，甚至是分?jǐn)?shù)的解釋程度.比較PISA數(shù)學(xué)測(cè)試“過(guò)程”的理解和框架，現(xiàn)有框架雖然是在眾多工作的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，但仍存在不足，需要我們進(jìn)一步研究.
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