淺析限制排中律適用范圍的命題演算論文
在經(jīng)典命題演算中，不矛盾律和排中律都普遍有效。直覺(jué)主義斷然否定排中律的普遍有效性，在直覺(jué)主義命題演算中，不矛盾律普遍有效，排中律無(wú)效。
直覺(jué)主義的創(chuàng)始人布勞維(L.E.J.Brouwer)認(rèn)為：“排中律是從有限事物中概括出來(lái)的，任何一個(gè)涉及有限事物全體的命題，總是可以通過(guò)對(duì)這些事物逐一地加以驗(yàn)證，來(lái)判明該命題的真?zhèn)�，這時(shí)排中律是有效的。
但是如果忘記了排中律的有限來(lái)源，把排中律視為先于和高于數(shù)學(xué)的某種普遍適用的法則，并將它運(yùn)用于無(wú)限的場(chǎng)合，就會(huì)犯錯(cuò)誤。這是因?yàn)閷?duì)于無(wú)限的事物，往往不可能(哪怕是原則上)對(duì)它們一一加以鑒別�！盵1]
然而，經(jīng)典命題演算認(rèn)排中律為普遍有效式，這固然與直觀(guān)相違;直覺(jué)主義命題演算認(rèn)排中律為無(wú)效式，亦與直觀(guān)不盡相符。從直觀(guān)上看，正如布勞維所認(rèn)為的那樣，排中律對(duì)且只對(duì)有限事物有效;但無(wú)論是經(jīng)典命題演算，還是直覺(jué)主義命題演算，都沒(méi)有框定排中律的適用范圍。鑒于此，本文擬對(duì)經(jīng)典命題演算做適當(dāng)改動(dòng)，構(gòu)造一個(gè)限制排中律適用范圍的命題演算系統(tǒng)PC5。
命題演算系統(tǒng)PC5 及其可靠性、完全性。
(一)PC5的語(yǔ)法和語(yǔ)義
初始符號(hào)：
甲、p1，p2，p3，…，pm，…，m 為自然數(shù);乙、┌ ，┐，∨;丙、(，)。
在陳述形成規(guī)則以前，我們先引進(jìn)一些語(yǔ)法語(yǔ)言的符號(hào)并作如下說(shuō)明：
(1)Q、R、S 代表任一甲類(lèi)符號(hào)。
(2)X、Y、Z 代表任一符號(hào)序列。
(3)A、B、C、D、E 代表任一合式公式。
(4)語(yǔ)法符號(hào)“┠”寫(xiě)在任一公式之前，它表示緊接在后面的公式是本系統(tǒng)所要肯定的。
形成規(guī)則：
(1)若X 是甲類(lèi)符號(hào)，則┌X、┐X 是合式公式。
(2)若X 是合式公式，則┌X、┐X 是合式公式。
(3)若X 和Y 都是合式公式，則(X∨Y)是合式公式。
(4)只有適合以上三條的符號(hào)序列是合式公式。
定義：
(甲)(A→B)定義為(┐A∨B)。
(乙)(A∧B)定義為┐(┐A∨┐B)。
(丙)(A≡B)定義為((A→B)∧(B→A))。
括號(hào)省略規(guī)則：
(甲)最外面的一對(duì)括號(hào)可以省略。
(乙)真值聯(lián)結(jié)詞的結(jié)合力依下列次序而遞增：≡，→，∧，∨，┌，┐。
公理：
公理1：┠A∨A→A;
公理2：┠A→A∨B;
公理3：┠A∨B→B∨A;
公理4：┠(B→C)→(A∨B→A∨C);
公理5：┠┌A≡A;
公理6：┠ ┐(┌Q∧┐Q)。
變形規(guī)則：
(1)分離規(guī)則，從┠A 和┠ ┐A∨B 可得┠B。
(2)定義置換規(guī)則，定義的左右兩方可相互替換。設(shè)原公式為A，替換后所得公式為B，則從┠A 可
得┠B。
公式的級(jí)的`遞歸定義：
(1)若X 是甲類(lèi)符號(hào)，則┌ X 和┐X 均為原子公式，原子公式是1 級(jí)公式。
(2)若X 是m 級(jí)公式，則┌ X 和┐X 均為m+1 級(jí)公式。
(3)若X 是m 級(jí)公式，Y 是n 級(jí)公式，且m≥n，則X∨Y、Y∨X、X∧Y、Y∧X、X→Y、Y→X、X≡Y、
Y≡X 均為m 級(jí)公式。
對(duì)引入0 級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)的一點(diǎn)說(shuō)明。
如前文所述，0 級(jí)命題變項(xiàng)代表任意的0 級(jí)命題。0 級(jí)命題就是不包含肯定詞或否定詞的命題。
這里有一點(diǎn)需要說(shuō)明，邏輯學(xué)界有一種普遍流行的觀(guān)點(diǎn)，這種觀(guān)點(diǎn)認(rèn)為任何命題都肯定了自身。按照這種觀(guān)點(diǎn)，人們必須承認(rèn)：
第一，任何命題都隱含著肯定詞;
第二，一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的。這樣一來(lái)，也就不存在0 級(jí)命題了。
筆者認(rèn)為，上述普遍流行的觀(guān)點(diǎn)頗值得商榷。首先，沒(méi)有任何理由可以證明任何命題都肯定了自身。
其次，有些命題很難說(shuō)肯定了自身。例如，命題甲“圓周率π 的小數(shù)表達(dá)式3.1415926…中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5”就很難說(shuō)肯定了自身。π 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，即無(wú)限的不循環(huán)的小數(shù)。
到目前為止，我們還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)(或證明)π 的小數(shù)展開(kāi)式中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5，因而不能肯定命題甲;我們也無(wú)法論證π 一定沒(méi)有這樣一個(gè)特性，因而也不能否定命題甲[1] 49~50。如果命題甲肯定了自身，那么只要提出命題甲，就提出了對(duì)命題甲的肯定。這與命題甲雖已提出來(lái)但到目前為止還未被肯定這一事實(shí)顯然不符。
再次，“一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的”只是邏輯學(xué)的一個(gè)公設(shè)，基于這一公設(shè)，肯定詞在任何情況下都可以隨意消除，人們?cè)跇?gòu)造命題演算系統(tǒng)時(shí)根本無(wú)需引入肯定詞，這就造成了在現(xiàn)代邏輯中對(duì)肯定詞和否定詞的研究極為不平衡的奇特現(xiàn)象：人們建立了多種多樣的命題演算系統(tǒng)來(lái)刻畫(huà)否定詞的邏輯意義，區(qū)分了不同種類(lèi)的否定(如經(jīng)典否定、直覺(jué)主義否定、弗協(xié)調(diào)否定等)[3] 476~477;但人們對(duì)肯定詞的邏輯意義卻極少關(guān)注。
然而，值得提出的是，上述公設(shè)從未得到過(guò)系統(tǒng)外的預(yù)先證明。鑒于此，本文所建構(gòu)的形式系統(tǒng)在限制上述公設(shè)適用范圍的基礎(chǔ)上引入了0 級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)。
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