宜昌市2015年中考數(shù)學試題解析

　　一、選擇題(下列各題中，只有一個選項是符合題目要求的，本大題共15小題，每小題3分，計45分)

　　1.中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據(jù)規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4400000000人，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為(　　)

　　A. 44×108 B. 4.4×109 C. 4.4×108 D. 4.4×1010

　　考點： 科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)..

　　分析： 科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時，n是負數(shù).

　　解答： 解：4 400 000 000=4.4×109，

　　故選：B.

　　點評： 此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

　　2.(3分)(2015•宜昌)下列剪紙圖案 中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考 點： 中心對稱圖形;軸對稱圖形..

　　分析： 根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

　　解答： 解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確;

　　B、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合;即不滿足軸對稱圖形的定義.是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

　　C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

　　D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合;即不滿足中心對稱圖形的定義，故此選項錯誤.

　　故選：A.

　　點評： 此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

　　3.(3分)(2015•宜昌)陸地上最高處是珠穆朗瑪峰頂，高出海平面8848m，記為+8848m;陸地上最低處是地處亞洲西部的死海，低于海平面約415m，記為(　　)

　　A. +415m B. ﹣415m C. ±415m D. ﹣8848m

　　考點： 正數(shù)和負數(shù)..

　　分析： 根據(jù)用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量的方法，可得：高出海平面8848m，記為+8848m;則低于海平面約415m，記為﹣415m，據(jù)此解答即可.

　　解答： 解：∵高出海平面8848m，記為+8848m;

　　∴低于海平面約415m，記為﹣415m.

　　故選：B.

　　點評： 此題主要考查了用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量.

　　4.(3分)(2015•宜昌)某校對九年級6個班學生平均一周的課外閱讀時間進行了統(tǒng)計，分別為(單位：h)：3.5，4，3.5，5，5，3.5.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(　　)

　　A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5

　　考點： 眾數(shù)..

　　分析： 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，依此求解即可.

　　解答： 解：在這一組數(shù)據(jù)中3.5出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，故眾數(shù)是3.5.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了眾數(shù)的定義，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找 出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù).

　　5.(3分)(2015•宜昌)如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分為6個大小相同的扇形，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置(指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形)，指針指向陰影區(qū)域的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 幾何概率..

　　分析： 求出陰影在整個轉(zhuǎn)盤中所占的比例即可解答.

　　解答： 解：∵每個扇形大小相同，因此陰影面積與空白的面積相等，

　　∴落在陰影部分的概率為： = .

　　故選：C.

　　點評： 此題主要考查了幾何概率，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比.

　　6.(3分)(2015•宜昌)下列式子沒有意義的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 二次根式有意義的條件..

　　分析： 根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，可得答案.

　　解答： 解：A、 沒有意義，故A符合題意;

　　B、 有意義，故B不符合題意;

　　C、 有意義，故C不符合題意;

　　D、 有意義，故D不符合題意;

　　故選：A.

　　點評： 本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題關鍵.

　　7.(3分)(2015•宜昌)不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 在數(shù)軸上表示不等式的解集;解一元一次不等式組..

　　分析： 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)來解不等式組，兩個不等式的解集的交集，就是該不等式組的解集;然后把不等式的解集根據(jù)不等式解集在數(shù)軸上的表示方法畫出圖示.

　　解答： 解：不等式組的解集是﹣1≤x≤3，其數(shù)軸上表示為：

　　故選B

　　點評： 不等式組的解集：不等式組的解集可以先求這些個不等式各自的解，然后再找它們的相交的公共部分(最好先在數(shù)軸上畫出它們的解)，找它們的相交的公共部分可以用這個口訣記住 ：同小取小，同大取大;比大的小，比小的大，取中間;比大的大，比小的小，無解.

　　8.(3分)(2015•宜昌)下列圖形具有穩(wěn)定性的是(　　)

　　A. 正方形 B. 矩形 C. 平行四邊形 D. 直角三角形

　　考點： 三角形的穩(wěn)定性;多邊形..

　　分析： 根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進行判斷.

　　解答： 解：直角三角形具有穩(wěn)定性.

　　故選：D.

　　點評： 此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，正確掌握三角形的性質(zhì)是解題關鍵.

　　9.(3分)(2015•宜昌)下列圖形中可以作為一個三棱柱的展開圖的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 幾何體的展開圖..

　　分析： 三棱柱展開后，側(cè)面是三個長方形，上下底各是一個三角形.

　　解答： 解：三棱柱展開后，側(cè)面是三個長方形，上下底各是一個三角形由此可得：

　　只有A是三棱柱的展開圖.

　　故選：A

　　點評： 此題主要考查了三棱柱表面 展開圖，注意上、下兩底面應在側(cè)面展開圖長方形的兩側(cè).

　　10.(3分)(2015•宜昌)下列運算正確的是(　　)

　　A. x4+x4=2x8 B. (x2)3=x5 C. (x﹣y)2=x2﹣y2 D. x3•x=x4

　　考點： 冪的乘方與積的乘方;合并同類項;同底數(shù)冪的乘法;完全平方公式..

　　分析： A：根據(jù)合并同類項的方法判斷即可.

　　B：根據(jù)冪的乘方的運算方法判斷即可.

　　C：根據(jù)完全平方公式的計算方法判斷即可.

　　D：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可.

　　解答： 解：∵x4+x4=2x4，

　　∴選項A不正確;

　　∵(x2)3=x6，

　　∴選項B不正確;

　　∵(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2，

　　∴選項C不正確;

　　∵x3•x=x4，

　　∴選項D正確.

　　故選：D.

　　點評： (1)此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①(am)n=amn(m，n是正整數(shù));②(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).

　　(2)此題還考查了同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，要熟練掌 握，解答此題的關鍵是要明確：①底數(shù)必須相同;②按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

　　(3)此題還考查了完全平方公式，以及合并同類項的方法，要熟練掌握.

　　11.(3分)(2015•宜昌)如圖，圓形鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上.已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點C落在直尺的10cm處，鐵片與直尺的唯一公共點A落在直尺的14cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點為B，下列說法錯誤的是(　　)

　　A. 圓形鐵片的半徑是4cm B. 四邊形AOBC為正方形

　　C. 弧AB的長度為4πcm D. 扇形OAB的面積是4πcm2

　　考點： 切線的性質(zhì);正方形的判定與性質(zhì);弧長的計算;扇形面積的計算..

　　專題： 應用題.

　　分析： 由BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四邊形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正確;根據(jù)扇形的弧長、面積的計算公式求出結果即可進行判斷.

　　解答： 解：由題意得：BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點，

　　∴OA⊥CA，OB⊥BC，

　　又∵∠C=90°，OA=OB，

　　∴四邊形AOBC是正方形，

　　∴OA=AC=4，故A，B正確;

　　∴ 的長度為： =2π，故C錯誤;

　　S扇形OAB= =4π，故D正確.

　　故 選C.

　　點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，扇形的弧長、面積的計算，熟記計算公式是解題的關鍵.

　　12.(3分)(2015•宜昌)如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是 (　　)

　　A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°

　　考點： 平行線的性質(zhì)..

　　分析： 先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠D的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結論.

　　解答： 解：∵FE⊥DB，

　　∵∠DEF=90°.

　　∵∠1=50°，

　　∴∠D=90°﹣50°=40°.

　　∵AB∥CD，

　　∴∠2=∠D=40°.

　　故選C.

　　點評： 本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等.

　　13.(3分)(2015•宜昌)兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個 箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結論：

　　①AC⊥BD;②AO=CO= AC;③△ABD≌△CBD，

　　其中正確的結論有(　　)

　　A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

　　考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)..

　　專題： 新定義.

　　分析： 先證明△ABD與△CBD全等，再證明△AOD與△COD全等即可判斷.

　　解答： 解：在△ABD與△CBD中，

　　，

　　∴△ABD≌△CBD(SSS)，

　　故③正確;

　　∴∠ADB=∠CDB，

　　在△AOD與△COD中，

　　，

　　∴△AOD≌△COD(SAS)，

　　∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，

　　∴AC⊥DB，

　　故①②正確;

　　故選D

　　點評： 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是根據(jù)SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等.

　　14.(3分)(2015•宜昌)如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有(　　)

　　A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

　　考點： 全等三角形的判定..

　　分析： 根據(jù)全等三角形的判定得出點P的位置即可.

　　解答： 解：要使△ABP與△ABC全等，點P到AB的距離應該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P1，P3，P4三個，

　　故選C

　　點評： 此題考查全等三角形的判定，關鍵是利用全等三角形的判定進行判定點P的位置.

　　15.(3分)(2015•宜昌)如圖，市煤氣公司計劃在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室，則儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)的函數(shù)圖象大致是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 反比例函數(shù)的應用;反比例函數(shù)的圖象..

　　分析： 根據(jù)儲存室的體積=底面積×高即可列出反比例函數(shù)關系，從而判定正確的結論.

　　解答： 解：由儲存室的體積公式知：104=Sd，

　　故儲存室的底面積S(m2)與其深度d(m)之間的函數(shù)關系式為S= (d>0)為反比例函數(shù).

　　故選：A.

　　點評： 本題考查了反比例函數(shù)的應用及反比例函數(shù)的圖象，解題的關鍵是根據(jù)自變量的取值范圍確定雙曲線的具體位置，難度不大.

　　二、解答題(本大題共9小題，計75分)

　　16.(6分)(2015•宜昌)計算：|﹣2|+30﹣(﹣6)×(﹣ ).

　　考點： 實數(shù)的運算;零指數(shù)冪..

　　專題： 計算題.

　　分析： 原式第一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，第三項利用乘法法則計算即可得到結果.

　　解答： 解：原式=2+1﹣3=0.

　　點評： 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

　　17.(6分)(2015•宜昌)化簡： + .

　　考點： 分式的加減法..

　　分析： 首先約分，然后根據(jù)同分母分式加減法法則，求出算式 + 的值是多少即可.

　　解答： 解： +

　　=

　　=

　　=

　　=1.

　　點評： 此題主要考查了分式的加減法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：(1)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.(2)異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減法.

　　18.(7分)(2015•宜昌)如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H;再分別以點G，H為圓心，大于 GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E.

　　(1)求證：AB=AE;

　　(2)若∠A=100°，求∠EBC的度數(shù).

　　考點： 作圖—基本作圖;等腰三角形的判定與性質(zhì)..

　　分析： (1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠AEB=∠EBC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EBC=∠ABE，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案;

　　(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠AEB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得答案.

　　解答： (1)證明：∵AD∥BC，

　　∴∠AEB=∠EBC.

　　由BE是∠ABC的角平分線，

　　∴∠EBC=∠ABE，

　　∴∠AEB=∠ABE，

　　∴AB=AE;

　　(2)由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得

　　∠ABE=∠AEB=40°.

　　由AD∥BC，得

　　∠EBC=∠AEB=40°.

　　點評： 本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定.

　　19.(7分)(2015•宜昌)901班的全體同學根據(jù)自己的興趣愛好參加了六個學生社團(每個學生必須參加且只參加一個)，為了了解學生參加社團的情況，學生會對該班參加各個社團的人數(shù)進行了統(tǒng)計，繪制成了如圖不完整的扇形統(tǒng)計圖，已知參加“讀書社”的學生有15人，請解答下列問題：

　　(1)該班的學生共有　60　名;

　　(2)若該班參加“吉他社”與“街舞社”的人數(shù)相同，請你計算，“吉他社”對應扇形的圓心角的度數(shù);

　　(3)901班學生甲、乙、丙是“愛心社”的優(yōu)秀社員，現(xiàn)要從這三名學生中隨機選兩名學生參加“社區(qū)義工”活動，請你用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好選中甲和乙的概率.

　　考點： 列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計圖..

　　分析： (1)利用參加“讀書社”的學生數(shù)除以所占比例進而求出總?cè)藬?shù);

　　(2)首先求出參加“吉他社”的學生在全班學生中所占比例，進而求出對應扇形的圓心角的度數(shù);

　　(3)首先畫出樹狀圖，進而求出恰好選中甲和乙的概率.

　　解答： 解：(1)∵參加“讀書社”的學生有15人，且在扇形統(tǒng)計圖中，所占比例為：25%，

　　∴該班的學生共有：15÷25%=60(人);

　　故答案為：60;

　　(2)參加“吉他社”的學生在全班學生中所占比例為：

　　=10%，

　　所以，“吉他社”對應扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×10%=36°;

　　(3)畫樹狀圖如下：

　　，

　　由樹狀圖可知，共有6種可能的情況，其中恰好選中甲和乙的情況有2種，

　　故P(選中甲和乙)= = .

　　點評： 此題考查了扇形統(tǒng)計圖以及樹狀圖法求概率，弄清題意得出正確信息是解本題的關鍵.

　　20.(8分)(2015•宜昌)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為邊CB上的一個動點(點D不與點B重合)，過D作DO⊥AB，垂足為O，點B′在邊AB上，且與點B關于直線DO對稱，連接DB′，AD.

　　(1)求證：△DOB∽△ACB;

　　(2)若AD平分∠CAB，求線段BD的長;

　　(3)當△AB′D為等腰三角形時，求線段BD的長.

　　考點： 相似形綜合題..

　　分析： (1)由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易證明△DOB∽△ACB;

　　(2)先由勾股定理求出AB，由角平分線的性質(zhì)得出DC=DO，再由HL證明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，設BD=x，則DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可;

　　(3)根據(jù)題意得出當△AB′D為等腰三角形時，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出 = ，設BD=5x，則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD.

　　解答： (1)證明：∵DO⊥AB，

　　∴∠DOB=∠DOA=90°，

　　∴∠DOB=∠ACB=90°，

　　又∵∠B=∠B，

　　∴△DOB∽△ACB;

　　(2)解：∵∠ACB=90°，

　　∴AB= = =10，

　　∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

　　∴DC=DO，

　　在Rt△ACD和Rt△AOD中，

　　，

　　∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，

　　∴AC=AO=6，

　　設BD=x，則DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，

　　在Rt△BOD中，根據(jù)勾 股定理得：DO2+OB2=BD2，

　　即(8﹣x)2+42=x2，

　　解得：x=5，

　　∴BD的長為5;

　　(3)解：∵點B′與點B關于直線DO對稱，

　　∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，

　　∵∠B為銳角，

　　∴∠OB′D也為銳角，

　　∴∠AB′D為鈍角，

　　∴當△AB′D為等腰三角形時，AB′=DB′，

　　∵△DOB∽△ACB，

　　∴ = = ，

　　設BD=5x，

　　則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，

　　∵AB′+B′O+BO=AB，

　　∴5x+4x+4x=10，

　　解得：x= ，

　　∴BD= .

　　點評： 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識;本題難度較大，綜合性強，特別是(2)(3)中，需要根據(jù)題意列出方程，解方程才能得出結果.

　　21.(8分)(2015•宜昌)如圖，已知點A(4，0)，B(0，4 )，把一個直角三角尺DEF放在△OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動.其中∠EFD=30°，ED=2，點G為邊FD的中點.

　　(1)求直線AB的解析式;

　　(2)如圖1，當點D與點A重合時，求經(jīng)過點G的反比例函數(shù)y= (k≠0)的解析式;

　　(3)在三角尺滑動的過程中，經(jīng)過點G的反比例函數(shù)的圖象能否同時經(jīng)過點F?如果能，求出此時反比例函數(shù)的解析式;如果不能，說明理由.

　　考點： 反比例函數(shù)綜合題..

　　分析： (1)設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可;

　　(2)由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點D坐標，得出點F、G坐標，把點G坐標代入反比例函數(shù)求出k即可;

　　(3)設F(t，﹣ t+4 )，得出D、G坐標，設過點G和F的反比例函數(shù)解析式為y= ，用待定系數(shù)法求出t、m，即可得出反比例函數(shù)解析式.

　　解答： 解：(1)設直線AB的解析式為y=kx+b，

　　∵A(4，0)，B(0，4 )，

　　∴ ，

　　解得： ，

　　∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+4 ;

　　(2)∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

　　∴EF=2 ，DF=4，

　　∵點D與點A重合，

　　∴D(4，0)，

　　∴F(2，2 )，

　　∴G(3， )，

　　∵反比例函數(shù)y= 經(jīng)過點G，

　　∴k=3 ，

　　∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ;

　　(3)經(jīng)過點G的反比例函數(shù)的圖象能同時經(jīng)過點F;理由如下：

　　∵點F在直線AB上，

　　∴設F(t，﹣ t+4 )，

　　又∵ED=2，

　　∴D(t+2，﹣ t+2 )，

　　∵點G為邊FD的中點.

　　∴G(t+1，﹣ t+3 )，

　　若過點G的反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點F，

　　設解析式為y= ，

　　則 ，

　　整理得：(﹣ t+3 )(t+1)=(﹣ t+4 )t，

　　解得：t= ，

　　∴m= ，

　　∴經(jīng)過點G的反比例函數(shù)的圖象能同時經(jīng)過點F，這個反比例函數(shù)解析式為：y= .

　　點評： 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)的解析式、坐標與圖形特征、解直角三角形、解方程組等知識;本題難度較大，綜合性強，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式是解決問題的關鍵.

　　22.(10分)(2015•宜昌)全民健身和醫(yī)療保健是社會普遍關注的問題，2014年，某社區(qū)共投入30萬元用于購買健身器材和藥品.

　　(1)若2014年社區(qū)購買健身器材的費用不超過總投入的 ，問2014年最低投入多少萬元購買藥品?

　　(2)2015年，該社區(qū)購買健身器材的費用比上一年增加50%，購買藥品的費用比上一年減少 ，但社區(qū)在這兩方面的總投入仍與2014年相同.

　�、偾�2014年社區(qū)購買藥品的總費用;

　�、趽�(jù)統(tǒng)計，2014年該社區(qū)積極健身的家庭達到200戶，社區(qū)用于這些家庭的藥品費用明顯減少，只占當年購買藥品總費用的 ，與2014年相比，如果2015年社區(qū)內(nèi)健身家庭戶數(shù)增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費用降低的百分比相同，那么，2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的 ，求2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù).

　　考點： 一元二次方程的應用;二元一次方程組的應用;一元一次不等式的應用..

　　專題： 應用題.

　　分析： (1)設2014年購買藥品的費用為x萬元，根據(jù)購買健身器材的費用不超過總投入的 ，列出不等式，求出不等式的解集即可得到結果;

　　(2)①設2014年社區(qū)購買藥品的費用為y萬元，則購買健身器材的費用為(30﹣y)萬元，2015年購買健身器材的費用為(1+50%)(30﹣y)萬元，購買藥品的費用為(1﹣ )y萬元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，即可得到結果;

　　②設這個相同的百分數(shù)為m，則2015年健身家庭的藥品費用為200(1+m)，根據(jù)2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的 ，列出方程，求出方程的解即可得到結果.

　　解答： 解：(1)設2014年購買藥品的費用為x萬元，

　　根據(jù)題意得：30﹣x≤ ×30，

　　解得：x≥10，

　　則2014年最低投入10萬元購買商品;

　　(2)①設2014年社區(qū)購買藥品的費用為y萬元，則購買健身器材的費用為(30﹣y)萬元，

　　2015年購買健身器材的費用為(1+50%)(30﹣y)萬元，購買藥品的費用為(1﹣ )y萬元，

　　根據(jù)題意得：(1+50%)(30﹣y)+(1﹣ )y=30，

　　解得：y=16，30﹣y=14，

　　則2014年購買藥品的總費用為16萬元;

　�、谠O這個相同的百分數(shù)為m，則2015年健身家庭的藥品費用為200(1+m)，

　　2015年平均每戶健身家庭的藥品費用為 (1﹣m)萬元，

　　依題意得：200(1+m)• (1﹣m )=(1+50%)×14× ，

　　解得：m=± ，

　　∵m>0，∴m= =50%，

　　∴200(1+m)=300(戶)，

　　則2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù)為300戶.

　　點評： 此題考查了一元二次方程的應用，二元一次方程組的應用，以及一元一次不等式的應用，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

　　23.(11分)(2015•宜昌)如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點E，F(xiàn)是邊BA延長線上一點，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點，AD分別于EF，GF交于I，H兩點.

　　(1)求∠FDE的度數(shù);

　　(2)試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結論;

　　(3)當G為線段DC的中點時，

　�、偾笞C：FD=FI;

　�、谠OAC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比 .

　　考點： 圓的綜合題;等腰三角形的判定;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;三角形中位線定理;平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì)..

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可得到∠FDE=90°;

　　(2)由四邊形ABCD是菱形可得AB∥CD，要證四邊形FACD是平行四邊形，只需證明DF∥AC，只需證明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需證明∠AEB=90°，根據(jù)四邊形ABCD是菱形即可得到結論;

　　(3)①連接GE，如圖，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有 = ，根據(jù)圓周角定理可得∠1=∠2，根據(jù)等角的余角相等可得∠3=∠4，根據(jù)等角對等邊可得FD=DI;②易知S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= •2m•2n=2mn，要求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比，只需得到m與n的關系，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運用勾股定理即可解決問題.

　　解答： 解：(1)∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°;

　　(2)四邊形FACD是平行四邊形.

　　理由如下：

　　∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴AB∥CD，AC⊥BD，

　　∴∠AEB=90°.

　　又∵∠FDE=90°，

　　∴∠AEB=∠FDE，

　　∴AC∥DF，

　　∴四邊形FACD是平行四邊形;

　　(3)①連接GE，如圖.

　　∵四邊形ABCD是菱形，∴點E為AC中點.

　　∵G為線段DC的中點，∴GE∥DA，

　　∴∠FHI=∠FGE.

　　∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，

　　∴∠FHI=90°.

　　∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點，

　　∴DG= GE，

　　∴ = ，

　　∴∠1=∠2.

　　∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

　　∴∠3=∠4，

　　∴FD=FI;

　　②∵AC∥DF，∴∠3=∠6.

　　∵∠4=∠5，∠3=∠4，

　　∴∠5=∠6，∴EI=EA.

　　∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，

　　∴DE= BD=n，AE= AC=m，F(xiàn)D=AC=2m，

　　∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.

　　在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得：

　　n2+(2m)2=(3m)2，

　　即n= m，

　　∴S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= •2m•2n=2mn=2 m2，

　　∴S⊙O：S菱形ABCD= .

　　點評： 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理、等角的余角相等、等角 對等邊、平行線的性質(zhì)、勾股定理、圓及菱形的面積公式等知識，綜合性強，證到IE=EA，進而得到EF=3m是解決第3(2)小題的關鍵.

　　24.(12分)(2015•宜昌)如圖1，B(2m，0)，C(3m，0)是平面直角坐標系中兩點，其中m為常數(shù)，且m>0，E(0，n)為y軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫射線OA，把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y=ax2+bx+n(a≠0)過E，A′兩點.

　　(1)填空：∠AOB=　45　°，用m表示點A′的坐標：A′(　m　，　﹣m　);

　　(2)當拋物線的頂點為A′，拋物線與線段AB交于點P，且 = 時，△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;

　　(3)若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為點M，過M作MN⊥y軸，垂足為N：

　�、偾骯，b，m滿足的關系式;

　�、诋攎為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為10，請你探究a的取值范圍.

　　考點： 二次函數(shù)綜合題..

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)由B與C的坐標求出OB與OC的長，根據(jù)OC﹣OB表示出BC的長，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標;

　　(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：根據(jù)題意表示出A與B的坐標，由 = ，表示出P坐標，由拋物線的頂點為A′，表示出拋物線解析式，把點E坐標代入整理得到m與n的關系式，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證;

　　(3)①當E與原點重合時，把A與E坐標代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關系式;

　　②拋物線與四邊形ABCD有公共點，可得出拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，分兩種情況考慮：若拋物線過點C(3m，0)，此時MN的最大值為10，求出此時a的值;若拋物線過點A(2m，2m)，求出此時a的值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍.

　　解答： 解：(1)∵B(2m，0)，C(3m，0)，

　　∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，

　　∵AB=2BC，

　　∴AB=2m=0B，

　　∵∠ABO=90°，

　　∴△ABO為等腰直角三角形，

　　∴∠AOB=45°，

　　由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即A′(m，﹣m);

　　故答案為：45;m，﹣m;

　　(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：

　　由已知得：A(2m，2m)，B(2m，0)，

　　∵ = ，

　　∴P(2m， m)，

　　∵A′為拋物線的頂點，

　　∴設拋物線解析式為y=a(x﹣m)2﹣m，

　　∵拋物線過點E(0，n)，

　　∴n=a(0﹣m)2﹣m，即m=2n，

　　∴OE：OD′=BC：AB=1：2，

　　∵∠EOD′=∠ABC=90°，

　　∴△D′OE∽△ABC;

　　(3)①當點E與點O重合時，E(0，0)，

　　∵拋物線y=ax2+bx+c過點E，A，

　　∴ ，

　　整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am;

　�、凇邟佄锞�與四邊形ABCD有公共點，

　　∴拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，

　　若拋物線過點C(3m，0)，此時MN的最大值為10，

　　∴a(3m)2﹣(1+am)•3m=0，

　　整理得：am= ，即拋物線解析式為y= x2﹣ x，

　　由A(2m，2m)，可得直線OA解析式為y=x，

　　聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得： ，

　　解得：x=5m，y=5m，即M(5m，5m)，

　　令5m=10，即m=2，

　　當m=2時，a= ;

　　若拋物線過點A(2m，2m)，則a(2m)2﹣(1+am)•2m=2m，

　　解得：am=2，

　　∵m=2，

　　∴a=1，

　　則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為 ≤a≤1.

　　點評： 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線與拋物線的交點，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵.

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