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歷年數學中考三角形試題及答案精選
1. (天津3分)sin45的值等于
(A) (B) (C) (D) 1
【答案】B。
【考點】特殊角三角函數。
【分析】利用特殊角三角函數的定義,直接得出結果。
2.(河北省3分)如圖,在△ABC 中,C=90,BC=6,D,E 分別在 AB、AC上,將△ABC沿DE折疊,使點A落在點A處,若A為CE的中點,則折痕DE的長為
A、 B、2 C、3 D、4
【答案】B。
【考點】翻折變換(折疊問題),相似三角形的判定和性質。
【分析】∵△ABC沿DE折疊,使點A落在點A處,EDA=EDA=90,AE=AE,
△ACB∽△AED。 。
又∵A為CE的中點,AE=AE=AC。 。ED=2。
故選B。
3.(山西省2分)如圖,△ABC中,AB=AC,點D、E分別是邊AB、AC的中點,點G、F在BC邊上,四邊形DEFG是正方形.若DE=2cm,則AC的長為
A. cm B.4cm C. cm D. cm
【答案】D。
【考點】等腰三角形的性質,三角形中位線定理,正方形的性質,勾股定理。
【分析】根據三角形的中位線定理可得出BC=4,由AB=AC,可證明BG=CF=1,由勾股定理可求出CE= ,即可得出AC=2 。故選D。
4.(內蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm,那么它的周長是
A、9cm B、12cm C、15cm或12cm D、15cm
【答案】D。
【考點】等腰三角形的性質,三角形三邊關系。
【分析】求等腰三角形的周長,即要確定等腰三角形的腰與底的長,根據三角形三邊關系知
當6為腰,3為底時,6﹣36+3,能構成等腰三角形,周長為6+6+3=15;
當3為腰,6為底時,3+3=6,不能構成三角形。故選D。
5.(內蒙古呼倫貝爾3分)如圖,△ACB≌△A1CB1, BCB1=30,則ACA1的度數為
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【答案】B。
【考點】全等三角形的性質。
【分析】根據全等三角形對應角相等的性質,得ACB=A1CB1,所以ACB-BCA1=A1CB1-BCA1,即 ACA1=BCB1=35。故選B。
3.填空題
1. (山西省3分)如圖,已知AB=12;ABBC于B,ABAD于A,AD=5,BC=10.點E是CD的中點,則AE的長是 ▲ 。
【答案】 。
【考點】平行的性質,相似三角形的判定和性質,勾股定理。
【分析】過點E作EGAB,垂足為點G,AB與DC交于點F,則DA∥GE∥BC。
∵點E是CD的中點,AB=12,根據平行的性質,得AG=6。
∵DA∥BC,△ADF∽△BCF。 。
∵AB=12,即BF=12-AF。 。
又∵AD=5,BC=10, ,解得,AF=4,FB=8。
FG=6-4=2。
∵GE∥BC,△FGE∽△FBC。 ,即 ,解得,GE= 。
在Rt△AGE中,由勾股定理,得AE= 。
2.(內蒙古巴彥淖爾、赤峰3分)如圖,AD是△ABC的中線,ADC=60,BC=6,把△ABC沿直線AD折疊,點C落在C處,連接BC,那么BC的長為 ▲ .
【答案】3。
【考點】翻折變換(折疊問題),軸對稱的性質,平角定義,等邊三角形的判定與性質。
【分析】根據題意:BC=6,D為BC的中點;故BD=DC=3。
由軸對稱的性質可得:ADC=ADC=60,
DC=DC=2,BDC=60。
故△BDC為等邊三角形,故BC=3。
3.(內蒙古巴彥淖爾、赤峰3分)如圖,EF是△ABC的中位線,將△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置,點D在BC上,已知△AEF的面積為5,則圖中陰影部分的面積為 ▲ .
【答案】10。
【考點】三角形中位線定理,相似三角形的判定和性質,平移的性質。
【分析】∵EF是△ABC的中位線,EF∥BC,△AEF∽△ABC。
EF:BC=1:2,S△AEF:S△ABC=1:4。
∵△AEF的面積為5,S△ABC=20。
∵將△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置,S△EBD=5。
圖中陰影部分的面積為:S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。
4.(內蒙古包頭3分)如圖,△ABD與△AEC都是等邊三角形,ABAC,下列結論中:①BE=DC;②BOD=60③△BOD∽△COE.正確的序號是 ▲ .
【答案】①②。
【考點】等邊三角形的性質,全等三角形的判定和性質,三角形的內角和定理,相似三角形的判定。
【分析】∵△ABD、△AEC都是等邊三角形,
AD=AB,AE=AC,DAB=CAE=60。
DAC=BAC+60,BAE=BAC+60。DAC=BAE!鱀AC≌△BAE(SAS)。
BE=DC。【①正確】
ADC=ABE。
∵BOD+BDO+DBO=180,BOD=180﹣BDO﹣DBO=60!劲谡_】
∵由△DAC≌△BAE和ABAC,得AEB,OEC。
又∵60,60,OCE。
而DOB=EOC,△BOD和△COE不相似!劲坼e誤】
5.(內蒙古呼和浩特3分)如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是BCD的平分線,且CEAB,E為垂足,BE=2AE,若四邊形AECD的面積為1,則梯形ABCD的面積為 ▲ . 【答案】 。
【考點】角平分線和垂直的定義,全等三角形的判定和性質,相似三角形的判定和性質,等腰三角形的判定和性質,三角形的面積,梯形的面積,一元一次方程的應用。
【分析】延長BA與CD,交于F,
∵CE是BCD的平分線,BCE=FCE。
∵CEAB,BEC=FEC=90。
∵EC=EC,△BCE≌△FCE(ASA)。BE=EF。
∵BE=2AE,BF=4AF。
又∵AD∥BC,△FAD∽△FBC。 。
設S△FAD=x,S△FBC=16x,S△BCE=S△FEC=8x,S四邊形AECD=7x。
∵四邊形AECD的面積為1,7x=1,x= 。
梯形ABCD的面積為:S△BCE+S四邊形AECD=15x= 。
6.(內蒙古烏蘭察布4分)如圖,在Rt△ABC中,ABC = 90 , AB = 8cm , BC = 6cm , 分別以A,C為圓心,以 的長為半徑作圓, 將 Rt△ABC截 去兩個扇形,則剩余(陰影)部分的面積為 ▲ cm (結果保留)
【答案】 。
【考點】直角三角形兩銳角的關系,勾股定理,扇形的面積。
【分析】由題意可知,陰影部分的面積為三角形面積減去兩個扇形面積。
三角形面積為 。
由勾股定理,得AC=10,圓半徑為5。
∵在Rt△ABC中,ABC = 90 ,C =90 。
兩個扇形的面積的和為半徑5,圓心角90 的扇形的面積,即四分之一圓的面積 。
陰影部分的面積為 cm 。
7.(內蒙古烏蘭察布4分)某廠家新開發(fā)的一種電動車 如圖,它的大燈A射出的光線AB,AC 與地面MN 所夾的銳角分別為 8 和 10 ,大燈A與地面離地面的距離為lm則該車大燈照亮地面的寬度BC是 ▲ m .(不考慮其它因素)
【答案】 。
【考點】解直角三角形的應用,銳角三角函數定義。
【分析】過點A作ADBC,垂足為點D。由銳角三角函數定義,得
BC=BD-CD= 。
4.解答題
1.(北京5分)如圖,點A、B、C、D在同一條直線上,BE∥DF,F,AB=FD.求證:AE=FC.
【答案】證明:∵BE∥DF,ABE=D。
在△ABC和△FDC中 ,
△ABC≌△FDC(ASA)。
AE=FC.
【考點】平行線的性質,全等三角形的判定和性質。
【分析】利用平行線同位角相等的性質可得ABE=D,由已知用ASA判定△ABC≌△FDC,再由全等三角形對應邊相等的性質證得AE=FC。
2.(北京5分)如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且CBF= CAB.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,sinCBF= ,求BC和BF的長.
【答案】解:(1)證明:連接AE!逜B是⊙O的直徑,AEB=90。
2=90。
∵AB=AC,1= CAB。
∵CBF= CAB,CBF。CBF+2=90。即ABF=90。
∵AB是⊙O的直徑,直線BF是⊙O的切線。
(2)過點C作CGAB于點G。
∵sinCBF= ,CBF,sin1= 。
∵AEB=90,AB=5,BE=ABsin1= 。
∵AB=AC,AEB=90,BC=2BE=2 。
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2 ,sin2= ,cos2= 。
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,AG=3。
∵GC∥BF,△AGC∽△BFA。 。 。
【考點】切線的判定和性質,勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定和性質,解直角三角形。
【分析】(1)連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角,從而判定直角三角形,利用直角三角形兩銳角相等得到直角,從而證明ABE=90。
(2)利用已知條件證得△AGC∽△BFA,利用對應邊的比求得線段的長即可。
3.(北京5分)閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個問題,如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC,BD相交于點O.若梯形ABCD的面積為1,試求以AC,BD,AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積.
小偉是這樣思考的:要想解決這個問題,首先應想辦法移動這些分散的線段,構造一個三角形,再計算其面積即可.他先后嘗試了翻折,旋轉,平移的方法,發(fā)現通過平移可以解決這個問題.他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的長度為三邊長的三角形(如圖2).
參考小偉同學的思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,△ABC的三條中線分別為AD,BE,CF.
(1)在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD,BE,CF的長度為三邊長的一個三角形(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的面積為1,則以AD,BE,CF的長度為三邊長的三角形的面積等于 .
【答案】解:△BDE的面積等于1。
(1)如圖.以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形是△CFP。
(2)連接EF,PE,則△CFP可公割成△PEF,△PCE和△EFC。
∵四邊形BEPF是平行四邊形,△PEF≌△BFE。
又∵E,F是AC,AB的中點,△BFE的底和高都是△ABC的一半。
△BFE的面積是△ABC的 ,即△PEF的面積是△ABC的 。
同理,△PCE和△EFC的面積都是△ABC的 。
以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于 。
【考點】平移的性質,三角形的面積,尺規(guī)作圖。
【分析】根據平移可知,△ADC≌△ECD,且由梯形的性質知△ADB與△ADC的面積相等,即△BDE的面積等于梯形ABCD的面積。
(1)分別過點F、C作BE、AD的平行線交于點P,得到的△CFP即是以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形。
(2)由平移的性質可得對應線段平行且相等,對應角相等。結合圖形知以AD,BE,CF的長度為三邊長的三角形的面積等于△ABC的面積的 。
4.(天津8分)某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景.如圖,游輪出發(fā)點A與望海樓B的距離為300 m.在一處測得望海校B位于A的北偏東30方向.游輪沿正北方向行駛一段時間后到達C.在C處測得望海樓B位于C的北偏東60方向.求此時游輪與望梅樓之間的距離BC ( 取l.73.結果保留整數).
【答案】解:根據題意,AB=10,如圖,過點B作BDAC交AC的延長線于點D。
在Rt△ADB中,∵ BAD=300, 。
在Rt△CDB中, 。
答:此時游輪與望梅樓之間的距離約為173 m。
【考點】解直角三角形的應用。
【分析】要求BC的長,就要把它作為直角三角形的邊,故輔助線過點B作BDAC交AC的延長線于點D,形成兩個直角三角形,利用三角函數解直角三角形先求BD再求出BC。
5.(山西省7分)如圖,某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹DE的高度.他們在這棵樹正 前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30,朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處,測得樹頂端D的仰角為60.已知A點的高度AB為2米,臺階AC的坡度為 (即AB:BC= ),且B、C、E三點在同一條盲線上。請根據以上殺件求出樹DE的高度(測傾器的高度忽略不計).
【答案】解:如圖,過點A作AFDE于F,則四邊形ABEF為矩形。AF=BE,EF=AB=2。
設DE=x,
在Rt△CDE中,CE= ,
在Rt△ABC中,∵ AB:BC= ,AB=2,BC= 。
在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2,AF= 。
∵AF=BE=BC+CE, ,解得x=6。
答:樹DE的高度為6米。
【考點】解直角三角形的應用(仰角俯角、坡度坡角問題),銳角三角函數,特殊角的三角函數值。。
【分析】通過構造直角三角形分別表示出BC和AF,得到有關的方程求解即可。
6.(山西省9分)如圖(1),Rt△ABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D.AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F
(1)求證:CE=CF.
(2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△ADE的位置,使點E落在BC邊上,其它條件不變,如圖(2)所示.試猜想:BE與CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論.
【答案】解:(1)∵ACB=90,CFA=90CAF。
∵CDAB,CEF=AED=90EAD。
又∵AF平分CAB,CAF=EAD。CFA=CEF。CE=CF。
(2)BE與CF相等。證明如下:
如圖,過點E作EGAC于G。
又∵AF平分CAB,EDAB,ED=EG。
由平移的性質可知:DE=DE,DE =GE。
∵ACB=90,ACD+DCB=90。
∵CDAB于D,DCB=90。ACD=B。
在Rt△CEG與Rt△BED中,
∵GCE=B,CGE=BDE,CE=DE,△CEG≌△BED(AAS)。CE=BE。
由(1)CE=CF,得CF=BE。
【考點】三角形兩銳角的關系,對頂角的性質,等腰三角形的判定,角平分線定義,平移的性質,矩形的性質,全等三角形的判定和性質。
【分析】(1)要證CE=CF,根據等腰三角形等角對等邊的判定,只要CFA=CEF即可。由已知,知CFA與CAF互余,CEF=AED與EAD互余,而AF平分CAB。從而CAF=EAD。得證。
(2)由角的等量關系轉換和平移的性質,根據AAS證得△CEG≌△BED,即可根據全等三角形的對應邊相等的性質得到CE=BE。由(1)的結論即可得到CF=BE。
7.(內蒙古呼和浩特6分)在一次課外實踐活動中,同學們要測量某公園人工湖兩側A,B兩個涼亭之間的距離.現測得AC=30m,BC=70m,CAB=120,請計算A,B兩個涼亭之間的距離.
【答案】解:如圖,作CDAB于點D.
在Rt△CDA中,∵AC=30,
CAD=180CAB=180-120=60,
CD=ACsinCAD=30sin60=15 ,
AD=ACcosCAD=30cos60=15。
在Rt△CDB中,∵BC=70,BD2=BC2﹣CD2,
BD= 。
AB=BD﹣AD=65﹣15=50。
答:A,B兩個涼亭之間的距離為50m。
【考點】解直角三角形的應用(方向角問題),銳角三角函數,特殊角的三角函數值,勾股定理。
【分析】構造直角三角形,過C點作CDAB于點D,先在Rt△CDA中應用銳角三角函數求得AD、CD的長,再利用勾股定理求得BD的長,從而由AB=BD﹣AD即得A,B兩個涼亭之間的距離。
8.(內蒙古巴彥淖爾、赤峰10分)如圖,一架滿載救援物資的飛機到達災區(qū)的上空,在A處測到空投地點C的俯角=60,測到地面指揮臺的俯角=30,已知BC的距離是2000米,求此時飛機的高度(結果保留根號).
【答案】解:作ADBC,交BC的延長線于點D,
∵EA∥BC,ABC==30。
又∵BAC=-=30,ABC=BAC。
AC=BC=2000。
在Rt△ACD中,
AD= ACcosCAD=ACcos300=1000 。
答:此時飛機的高度為1000 米。
【考點】解直角三角形的應用(仰角俯角問題),平行的性質,等腰三角形的判定,銳角三角函數,特殊角的三角函數值。
【分析】作ADBC,交BC的延長線于點D, 由平行線內錯角相等的性質和等腰三角形的判定,易得AC=BC=2000,從而在Rt△ACD中應用銳角三角函數即可求得此時飛機的高度。
9.(內蒙古包頭8分)一條船上午8點在A處望見西南方向有一座燈塔B,此時測得船和燈塔相距36海里,船以每小時20海里的速度向南偏西24的方向航行到C處,此時望見燈塔在船的正北方向.(參考數據sin240.4,cos240.9)
(1)求幾點鐘船到達C處;
(2)當船到達C處時,求船和燈塔的距離.
【答案】解:(1)延長CB與AD交于點E.AEB=90,
∵BAE=45,AB=36,BE=AE=36。
根據題意得:C=24,sin24= ,
AC= 。
9020=4.5。
8+4.5=12.5。
12點30分船到達C處。
(2)在直角三角形ACE中,cos24= ,即cos24= ,
BC=45。
船到C處時,船和燈塔的距離是45海里。
【考點】解直角三角形的應用(方向角問題),等腰直角三角形的判定和性質,銳角三角函數。
【分析】(1)要求幾點到達C處,需要先求出AC的距離,根據時間=距離除以速度,從而求出解.
(2)船和燈塔的距離就是BC的長,作出CB的延長線交AD于E,根據直角三角形的角,用三角函數可求出CE的長,減去BE就是BC的長.
10.(內蒙古呼倫貝爾6分)如圖,從熱氣球C上測得兩建筑物A、B底部的俯角分別為30和60,如果這時氣球的高度CD為90米,且點A、D、B在同一直線上,求建筑物A、B間的距離(結果保留根號)。
【答案】解:∵ ,
筑物A、B間距離為 米。
【考點】解直角三角形的應用,銳角三角函數定義,特殊角的三角函數值。
【分析】分別在 和 中應用銳角三角函數求出AD,BD即可。
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