北師大九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試題
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.在直角三角形 中,如果各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,則銳角 的正弦值和正切值( )
A.都縮小到原來(lái)的 B.都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍
C.都沒(méi)有變化 D.不能確定
2.如,菱形 的對(duì)角線 =6, =8,∠ = ,則下列結(jié)論正確的是( )
A.sin = B.cos = C.tan = D.tan =
3.如,河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶ ,堤高BC=10 m,則坡面AB的長(zhǎng)度是( )
A.15 m B.20 m C.20 m D.10 m
4.如,在△ 中, =10,∠ =60°,∠ =45°,則點(diǎn) 到 的距離是( )
A.10-5 B.5+5 C.15-5 D.15-10
5.(2015貴州銅仁中考)河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形,建立如所示的平面直角坐標(biāo)系,其函數(shù)的關(guān)系式為y=- ,當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4 m時(shí),這時(shí)水面寬度AB為( )
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
6.用配方法將函數(shù) = 2-2 +1寫(xiě)成 = ( - )2+ 的形式是( )
A. = ( -2)2-1 B. = ( -1)2-1
C. = ( -2)2-3 D. = ( -1)2-3
7.如所示,二次函數(shù) = 2-4 +3的象與 軸交于 , 兩點(diǎn),與 軸交于 點(diǎn),則△ 的面積為( )
A. B. C. D. 第7題
8.上午9時(shí),一船從 處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行,9時(shí)30 分到達(dá) 處,如所示,從 , 兩處分別測(cè)得小島 在北偏東45°和北偏東15°方向,那么 處與小島 的距離為( )
A.20海里 B.20 海里
C.15 海里 D.20 海里
9.函數(shù) 的部分象與 的交點(diǎn)分別為A(1,0),B(0,3),對(duì)稱軸是 ,在下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是( )
A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)
B.函數(shù)的表達(dá)式為
C.當(dāng)
D.拋物線與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-3,0) 第8題
10. (2015山東濰坊中考)已知二次函數(shù)y= +bx+c+2的象如所示,頂點(diǎn)為
(-1,0),下列結(jié)論:
、賏bc<0;② -4ac="0;③a">2;④4a-2b+c>0.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4 第10題
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.在離旗桿20 m的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿桿頂?shù)难鼋菫?,如果測(cè)角儀高1.5 m,那么旗桿的高為_(kāi)_______m.
12.如果sin = ,則銳角 的余角是__________.
13.(湖北襄陽(yáng)中考)如,在建筑平臺(tái)CD的頂部C處,測(cè)得大樹(shù)AB的頂部A的仰角為45°,測(cè)得大樹(shù)AB的底部B的俯角為30°,已知平臺(tái)CD的高度為5 m,則大樹(shù)的高度為 m.(結(jié)果保留根號(hào))
14.如,在離地面高度為5 m的 處引拉線固定電線桿,拉線與地面成 角, 則拉線 的長(zhǎng)為_(kāi)_________m(用 的三角函數(shù)值表示).
15.中陰影部分的面積相等的是 .
第15題
16.如,已知拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-3),請(qǐng)你確定一個(gè) 的值使該拋物線與 軸的一個(gè)交點(diǎn)在(1,0)和(3,0)之間,你所確定的 的值是 .
第18題
17.某涵洞是拋物線形,它的截面如所示,現(xiàn)測(cè)得水面寬 =1.6 m,涵洞頂點(diǎn) 到水面的距離為2.4 m,在中直角坐標(biāo)系內(nèi),涵洞所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式是___________.
18.(2015山東濰坊中考)觀光塔是濰坊市區(qū)的標(biāo)志性建筑.為測(cè)量其高度,如,一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔頂端C處的仰角是60°,然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔底部D處的俯角是30°,已知樓房高AB約是45 m,根據(jù)以上觀測(cè)數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CD是______m.
三、解答題(共66分)
19.(7分)計(jì)算:6tan230°-cos 30°tan 60°-2sin 45°+cos 60°.
20.(7分)如,李莊計(jì)劃在山坡上的 處修建一個(gè)抽水泵站,抽取山坡下水池中的水用于灌溉,已知 到水池 處的距離 是50米,山坡的坡角∠ =15°,由于受大氣壓的.影響,此種抽水泵的實(shí)際吸水揚(yáng)程 不能超過(guò)10米,否則無(wú)法抽取水池中的水, 試問(wèn)抽水泵站能否建在 處?
第20題 第21題
21.(8分)如,有一座拋物線形拱橋,橋下面正常水位時(shí)AB寬20 m,水位上升3 m就達(dá)到警戒線CD,這時(shí)水面寬度為10 m.
(1)在如所示的平面直角坐標(biāo)系中求拋物線的表達(dá)式.
(2)若洪水到來(lái)時(shí),水位以每小時(shí)0.2 m的速度上升,從警戒線開(kāi)始,再持續(xù)多少小時(shí)才能到達(dá)拱橋頂?
22.(8分)某電視塔 和樓 的水平距離為100 m,從樓頂 處及樓底 處測(cè)得塔頂 的仰角分別為45°和60°,試求樓高和電視塔高(精確到0.1 m).
第22題
23.(8分)如所示,一個(gè)運(yùn)動(dòng)員推鉛球,鉛球在點(diǎn)A處出手,出手時(shí)球離地面約 .鉛球落地點(diǎn)在B處,鉛球運(yùn)行中在運(yùn)動(dòng)員前4 m處(即 m)達(dá)到最高點(diǎn),最高點(diǎn)高為3 m.已知鉛球經(jīng)過(guò)的路線是拋物線,根據(jù)示的直角坐標(biāo)系,你能算出該運(yùn) 動(dòng)員的成績(jī)嗎?
24.(8分)(2015廣東珠海中考)已知拋物線y=a bx+3的對(duì)稱軸是直線x=1.
。1)求證:2a+b=0;
(2)若關(guān)于x的方程a +bx-8=0的一個(gè)根為4,求方程的另一個(gè)根.
25.(10分)如,某海域有兩個(gè)海拔均為200米的海島A和海島B,一勘測(cè)飛機(jī)在距離海平面垂直高度為1 100米的空中飛行,飛行到點(diǎn)C處時(shí)測(cè)得正前方一海島頂端A的俯角是60°,然后沿平行于AB的方向水平飛行1.99×104米到達(dá)點(diǎn)D處,在D處測(cè)得正前方另一海島頂端B的俯角是45°,求兩海島間的距離AB.
26.(10分)(杭州中考)復(fù)習(xí)課中,教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2-(4k+1)x-k+1(k是實(shí)數(shù)).
教師:請(qǐng)獨(dú)立思考,并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫(xiě)到黑板上.
學(xué)生思考后,黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論,教師作為活動(dòng)一員,又補(bǔ)充一些結(jié)論,并從中選擇如下四條:
①存在函數(shù),其象經(jīng)過(guò)(1,0)點(diǎn);
②函數(shù)象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn);
③當(dāng)x>1時(shí),不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小;
④若函數(shù)有最大值,則最大值必為正數(shù),若函數(shù)有最小值,則最小值必為負(fù)數(shù).
教師:請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假,并給出理由.最后簡(jiǎn)單寫(xiě)出解決問(wèn)題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.
參考答案
一、選擇題
1.C 解析:根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念知:如果各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,那么銳角 的各三角函數(shù)沒(méi)有變化.故選C.
2.D 解析:菱形 的對(duì)角線 =6, =8,
則 ⊥ ,且 =3, =4.
在Rt△ 中,根據(jù)勾股定理得 =5,
則sin = ,cos = ,tan = ,故選D.
3. C 解析:在Rt△ABC中,BC=10 m,tan A=1∶ .
∴ AC=BC÷tan A=10 (m),
∴ AB= =20(m).
4.C 解析:如,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.
在Rt△ 中,∠ =60°,∴ = .
在Rt△ 中,∠ =45°,∴ = . 第4題答
∵ BC=BD+CD,BC=10,∴ 10= + ,解得 =15﹣5 .
故選C.
5. C 解析:已知OD=4 m,故點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-4.
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,-4).把y=-4代入y=- ,得x=10(負(fù)值舍去).
即水面寬度AB為20 m.
6.A 解析: = 2﹣2 +1= ( 2﹣4 +4)﹣2+1= ( ﹣2)2﹣1.故選A.
7.C 解析:由表達(dá)式 = 2-4 +3=( -1)( -3),
則與 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0), (3,0).
令 =0,得 =3,即 (0,3).
∴ △ 的面積為
8.B 解析:如,過(guò)點(diǎn) 作 ⊥ 于點(diǎn) . 第8題答
根據(jù)題意,得 =40× =20(海里),∠ =105°.
在Rt△ 中, = 45°=10 (海里).
在Rt△ 中,∠ =60°,則∠ =30°,
所以 =2 =20 (海里).故選B.
9. C 解析:將A(1,0),B(0,3)分別代入表達(dá)式,得
解得 則函數(shù)表達(dá)式為 .
將 =-1代入表達(dá)式可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).
當(dāng) =0時(shí)可得 ,
解得
可見(jiàn),拋物線與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-3,0).
當(dāng) <-1時(shí), 隨 的增大而增大.
可見(jiàn),C答案錯(cuò)誤.故選C.
10.B 解析:∵ 函數(shù)象開(kāi)口向上,∴ a>0.
又∵ 頂點(diǎn)為(-1,0),∴ - =-1,∴ b=2a>0.
由拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知:c+2>2,∴ c>0,∴ abc>0,故①錯(cuò)誤.
∵ 拋物線頂點(diǎn)在x軸上,∴ -4a(c+2)=0,故②錯(cuò)誤.
∵ 頂點(diǎn)為(-1,0),∴ a-b+c+2=0.
∵ b=2a, ∴ a=c+2. ∵ c>0, ∴ a>2,故③正確.
由拋物線的對(duì)稱性可知x=-2與x=0時(shí)函數(shù)值相等,∴ 4a-2b+c+2>2,
∴ 4a-2b+c>0,故④正確.
二、填空題
11.(1.5+20tan ) 解析:根據(jù)題意可得:旗桿比測(cè)角儀高20tan m,測(cè)角儀高1.5 m,
故旗桿的高為(1.5+20tan )m.
12.30° 解析:∵ sin = , 是銳角,∴ =60°.
∴ 銳角 的余角是90°﹣60°=30°.
13.(5+5 ) 解析:過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,
在Rt△BCE中,BE=CD=5 m,
CE= =5 m.
在Rt△ACE中,AE=CEtan 45°=5 m,
AB=BE+AE=(5+5 )m.
點(diǎn)撥:本題考查了仰角、俯角問(wèn)題的應(yīng)用,要求能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形,并通過(guò)解直角三角形求解.
14. 解析:∵ ⊥ 且 =5 m,∠CAD= ,
∴ = (m).
15.②③ 解析:①中的函數(shù)為正比例函數(shù),與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0),由于缺少條件,無(wú)法求出陰影部分的面積;
、谥兄本y=-x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(0,2),故S陰影= ×2×2=2;
、壑械暮瘮(shù)是反比例函數(shù),陰影部分的面積為S= xy= ×4=2;
②③的面積相等.
、苤校瑨佄锞與坐標(biāo)軸交于(-1,0),(1,0),(0,-1),故陰影部分的三角形是等腰直角三角形,其面積S= ×2×1=1.
點(diǎn)撥:解答本題首先根據(jù)各形的函數(shù)表達(dá)式求出函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo),求得各個(gè)陰影部分的面積,進(jìn)而可比較出各陰影部分面積的大小關(guān)系,熟練掌握各函數(shù)的象特點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
16. (答案不唯一) 解析:由題意可知 要想拋物線與 軸的一個(gè)交點(diǎn)在(1,0)和(3,0)之間,只需 和 異號(hào)即可,所以
17. = 2 解析:設(shè)函數(shù)表達(dá)式為 = 2(a≠0),
點(diǎn) 坐標(biāo)應(yīng)該是(﹣0.8,﹣2.4),
則有﹣2.4=(﹣0.8)2 ,
即 =﹣ ,即 =﹣ 2.
18. 135 解析:在Rt△ABD中,∠BAD=90°, = ,
∵ ∠ADB=30°,AB=45 m,∴ = ,∴ AD=45 m.
在Rt△ADC中,∠ADC=90°, = ,
∵ ∠CAD=60°,AD=45 m, ∴ = ,∴ DC=135 m.
三、解答題
19.解:原式= .
20.解:∵ =50米,∠ =15°,
又sin∠ = ,
∴ = sin∠ = 50sin 15°≈13(米) 10米,
故抽水泵站不能建在 處.
21.解:設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為 = 2(a≠0),設(shè)拱橋頂?shù)骄渚的距離為 m,
則 點(diǎn)坐標(biāo)為(-5, - , 點(diǎn)坐標(biāo)為(-10,- -3),
故有 解得
所以, (1)拋物線的表達(dá)式為 = 2.
(2)1÷0.2=5(h).
22.解:設(shè) = m,∵ =100 m,∠ =45°,
∴ tan 45°=100 m.∴ =(100+ )m.
在Rt△ 中,∵∠ =60°,∠ =90°,
∴ tan 60°= ,
∴ = ,即 +100=100 , =100 -100 73.2(m),
即樓高約為73.2 m,電視塔高約為173.2 m.
23.解:能.∵ OC=4 m,CD=3 m,∴ 頂點(diǎn) 坐標(biāo)為(4,3).
設(shè) +3(a≠0),把 代入上式,得 ,
∴ ,
∴ 即 .
令 ,得 ∴ (舍去), [來(lái)源:Z§xx§k.Com]
故該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?yōu)?.
24.(1)證明:由拋物線y=a +bx+3的對(duì)稱軸為x=1得,
。1.∴ 2a+b=0.
(2)解:因?yàn)閽佄锞y=a +bx-8與y=a +bx+3有相同對(duì)稱軸x=1,
且方程a +bx-8=0的一個(gè)根為4.
設(shè)a +bx-8=0的另一個(gè)根 ,則滿足:4+ = .
∵ 2a+b=0,即b=-2a,
∴ 4+ =2,∴ =-2.
25.分析:首先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F,連接AB,易得四邊形ABFE為矩形.根據(jù)矩形的性質(zhì),可得AB=EF,AE=BF.由題意可知:AE=BF=1 100-200=900(米),CD=1.99×104米,然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中,利用三角函數(shù)即可求得CE與DF的長(zhǎng),繼而求得兩海島間的距離.
解:如,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AB.∵ AB∥CD,
∴ ∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴ 四邊形ABFE為矩形,∴ AB=EF,AE=BF.
由題意可知:AE=BF=1 100-200=900(米),
CD=1.99×104米=19 900米.
∴ 在Rt△AEC中,∠C=60°,AE=900米,
∴ CE= = =300 (米).
在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=900米,
∴ DF= = =900(米).
∴ AB=EF=CD+DF-CE=19 900+900-300 =20 800-300 (米).
答:兩海島之間的距離AB是(20 800-300 )米.
點(diǎn)撥:此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質(zhì).注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是求解此題的關(guān)鍵,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
26.分析:①把x=1,y=0代入函數(shù)表達(dá)式,存在k值即可.②需要考慮函數(shù)是一次函數(shù)的情況.③分k=0,k<0,k>0三種情況進(jìn)行討論.④由題意知k≠0,分k<0,k>0兩種情況進(jìn)行討論.
解:①真命題,當(dāng)k=0時(shí),y=2kx2-(4k+1)x-k+1=-x+1,此時(shí)象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0).
、诩倜},如①當(dāng)k=0時(shí),y=-x+1,y為關(guān)于x的一次函數(shù),此時(shí)象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn).
③假命題,分情況討論:當(dāng)k=0時(shí),y=-x+1,在x>1時(shí),y隨x的增大而減。划(dāng)k<0時(shí),二次函數(shù)的象開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=1+ <1,由象可知,在x>1時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)k>0時(shí),二次函數(shù)的象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=1+ >1,所以在1<x≤1+ 時(shí),y隨x的增大而減小,在x>1+ 時(shí),y隨x的增大而增大.
綜上,當(dāng)k>0時(shí),結(jié)論不成立.
、苷婷},若函數(shù)有最值,則必然是二次函數(shù),此時(shí)k≠0,Δ=24k2+1>0,二次函數(shù)的象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)取得最大值時(shí),二次函數(shù)的象開(kāi)口向下,最大值必為正數(shù);當(dāng)取得最小值時(shí),二次函數(shù)的象開(kāi)口向上,最小值必為負(fù)數(shù).所用到的數(shù)學(xué)方法:數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等.
點(diǎn)撥:本題是關(guān)于二次函數(shù)象與性質(zhì)的辨別是非題,掌握二次函數(shù)的象與性質(zhì)并分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.
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