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高考數(shù)學(xué)專項預(yù)測練習(xí)題及答案

時間:2022-12-25 19:04:48 高考試題 我要投稿
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高考數(shù)學(xué)專項預(yù)測練習(xí)題及答案

  習(xí)題就是一門課程或者一部教材為學(xué)生或讀者提供的,可供練習(xí)和實踐的、具有已知答案的問題。以下是小編為大家整理的高考數(shù)學(xué)專項預(yù)測練習(xí)題及答案相關(guān)內(nèi)容,僅供參考,希望能夠幫助大家!

高考數(shù)學(xué)專項預(yù)測練習(xí)題及答案

  題型一、直線和橢圓的位置關(guān)系

  例1:如圖所示,橢圓C1:+=1(a>b>0)的離心率為,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長。C2與y軸的交點為M,過坐標(biāo)原點O的直線l與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交于點D,E。

  (1)求C1,C2的方程;

  (2)求證:MA⊥MB;

  (3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若=λ,求λ的取值范圍。

  破題切入點:

  (1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1,C2的方程。

  (2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立,利用坐標(biāo)形式的向量證明。

  (3)將S1和S2分別表示出來,利用基本不等式求最值。

  (1)解 由題意,a2=2b2。

  又2=2b,得b=1。

  所以曲線C2的方程:y=x2-1,橢圓C1的方程:+y2=1。

  (2)證明:設(shè)直線AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),

  由題意,知M(0,-1)。

  則x2-kx-1=0=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)

  =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

  =-(1+k2)+k2+1=0,

  所以MA⊥MB。

  (3)解:設(shè)直線MA的方程:y=k1x-1,直線MB的方程:y=k2x-1,

  由(2)知k1k2=-1,M(0,-1),

  由解得或

  所以A(k1,k-1)。

  同理,可得B(k2,k-1)。

  故S1=MA·MB=·|k1||k2|。

  由解得或

  所以D。

  同理,可得E。

  故S2=MD·M

  則λ的取值范圍是[,+∞)。

  題型二、直線和雙曲線的位置關(guān)系

  例2:已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1。

  (1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;

  (2)若l與C交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,且△AOB的面積為,求實數(shù)k的值。

  破題切入點:

  (1)聯(lián)立方程組,利用Δ>0求出k的取值范圍。

  (2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解。

  解:(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,

  則方程組有兩個不同的實數(shù)根,

  整理得(1-k2)x2+2kx-2=0。

  ∴解得-|x2|時,

  S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

  =|x1-x2|;

  當(dāng)A,B在雙曲線的兩支上且x1>x2時,

  S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

  =|x1-x2|。

  ∴S△OAB=|x1-x2|=,∴(x1-x2)2=(2)2,

  即2+=8,解得k=0或k=±。

  又∵-0,b>0)的上焦點為F,上頂點為A,B為虛軸的端點,離心率e=,且S△ABF=1-。拋物線N的頂點在坐標(biāo)原點,焦點為F。

  (1)求雙曲線M和拋物線N的方程;

  (2)設(shè)動直線l與拋物線N相切于點P,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點Q,則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點?如果是,試求出該點的坐標(biāo),如果不是,請說明理由。

  破題切入點:

  (1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì),用a,c表示已知條件,建立方程組即可求解雙曲線的方程,然后根據(jù)拋物線的焦點求出拋物線的方程。

  (2)設(shè)出點P的坐標(biāo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,并求出點Q的坐標(biāo),然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點P的坐標(biāo)的方程,將問題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問題來解決。

  解:(1)在雙曲線中,c=,

  由e=,得=,

  解得a=b,故c=2b。

  所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

  =1-,解得b=1。

  所以a=,c=2,其上焦點為F(0,2)。

  所以雙曲線M的方程為-x2=1,

  拋物線N的方程為x2=8y。

  (2)由(1)知拋物線N的方程為y=x2,

  故y′=x,拋物線的準(zhǔn)線為y=-2。

  設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,y0=x,

  且直線l的方程為y-x=x0(x-x0),

  即y=x0x-x。由得

  所以Q(,-2)。

  假設(shè)存在點R(0,y1),使得以PQ為直徑的圓恒過該點,

  也就是·=0對于滿足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立。

  由于=(x0,y0-y1),=(,-2-y1),

  由=0,

  得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0,

  整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0,

  即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0,

  由于式對滿足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立,

  所以解得y1=2。

  故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點,定點坐標(biāo)為(0,2)。

  總結(jié)提高:直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題,萬變不離其宗,構(gòu)建屬于自己的解題模板,形成一定的解題思路,利用數(shù)形結(jié)合思想來加以解決。

  1.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l過F且與拋物線C交于M,N兩點,已知當(dāng)直線l與x軸垂直時,△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點)。

  (1)求拋物線C的方程;

  (2)是否存在直線l,使得以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰好在y軸上,若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由。

  解:(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時,則|MN|=2p,

  ∴S△OMN=·2p·==2,即p=2。

  ∴拋物線C的方程為y2=4x。

  (2)∵直線l與x軸垂直時,不滿足。設(shè)正方形的第三個頂點為P。

  故可設(shè)直線l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),

  聯(lián)立可化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

  則代入直線l可得MN的中點為,

  則線段MN的垂直平分線為y-=-(x-1-),

  故P(0,+)。

  又=0,則x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0。

  即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0。

  1-4-y0·+y=0,化解得ky-4y0-3k=0,

  由y0=+代入上式,化簡得(3k4-4)(k2+1)=0。

  解得k=±!啻嬖谥本l:y=±(x-1)。

  2.(2013·廣東)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為。設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點。

  (1)求拋物線C的方程;

  (2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;

  (3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求AF·BF的最小值。

  解:(1)依題意知=,c>0,解得c=1。

  所以拋物線C的方程為x2=4y。

  (2)由y=x2得y′=x,

  設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

  則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,

  所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1),

  即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0。

  同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0,

  又點P(x0,y0)在切線PA和PB上,

  所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,

  所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解,

  所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0。

  (3)由拋物線定義知AF=y1+1,BF=y2+1,

  所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,

  聯(lián)立方程

  消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,

  ∴y1+y2=x-2y0,y1y2=y,

  ∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

  =y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

  =22+,

  ∴當(dāng)y0=-時,AF·BF取得最小值,且最小值為。

  3.(2013·浙江)

  如圖,點P(0,-1)是橢圓C1:+=1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑。l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D。

  (1)求橢圓C1的方程;

  (2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程。

  解:(1)由題意得

  所以橢圓C1的方程為+y2=1。

  (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)。

  由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,

  則直線l1的方程為y=kx-1。

  又圓C2:x2+y2=4,

  故點O到直線l1的距離d=,

  所以AB=2=2。

  又l2⊥l1,故直線l2的方程為x+ky+k=0。

  由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,

  故x0=-。所以PD=。

  設(shè)△ABD的面積為S,

  則S=·AB·PD=,

  當(dāng)且僅當(dāng)k=±時取等號。

  所以所求直線l1的方程為y=±x-1。

  4.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的焦距為4,以原點為圓心,實半軸長為半徑的圓和直線x-y+=0相切。

  (1)求雙曲線E的方程;

  (2)已知點F為雙曲線E的左焦點,試問在x軸上是否存在一定點M,過點M任意作一條直線交雙曲線E于P,Q兩點(P在Q點左側(cè)),使·為定值?若存在,求出此定值和所有的定點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

  解:(1)由題意知=a,

  ∴a=。

  又∵2c=4,∴c=2,∴b==1。

  ∴雙曲線E的方程為-y2=1。

  (2)當(dāng)直線為y=0時,

  則P(-,0),Q(,0),F(xiàn)(-2,0),

  ∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1。

  當(dāng)直線不為y=0時,

  可設(shè)l:x=ty+m(t≠±)代入E:-y2=1,

  整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±)。(*)

  由Δ>0得m2+t2>3。

  設(shè)方程(*)的兩個根為y1,y2,

  滿足y1+y2=-,y1y2=,

  ∴·=(ty1+m+2,y1)·(ty2+m+2,y2)

  =(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2。

  當(dāng)且僅當(dāng)2m2+12m+15=3時,·為定值,

  解得m1=-3-,m2=-3+(舍去)。

  綜上,過定點M(-3-,0)任意作一條直線交雙曲線E于P,Q兩點,使·=1為定值。

  5.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,y0>0),

  則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),

  即x0x+y0y=4,此時,兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S

  由x+y=4≥2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時,x0y0有最大值,即S有最小值,

  因此點P的坐標(biāo)為。

  由題意知解得

  故C1的方程為x2-=1。

  (2)由(1)知C2的焦點坐標(biāo)為(-,0),(,0),

  由此設(shè)C2的方程為+=1,其中b1>0。

  由P(,)在C2上,得+=1,

  解得b=3,因此C2的方程為+=1。

  顯然,l不是直線y=0。

  設(shè)l的方程為x=my+,點A(x1,y1),B(x2,y2),

  由得(m2+2)y2+2my-3=0,

  又設(shè)y1,y2是方程的根,因此

  由x1=my1+,x2=my2+,得

  因為=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),

  由題意知=0,

  所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0,⑤

  將①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0,

  解得m=-1或m=-+1。

  因此直線l的方程為x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0。